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高考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué):不等式恒成立問題

來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2018-10-19 21:26:07

  高考數(shù)學(xué):一輪復(fù)習(xí)函數(shù)不等式恒成立問題的基本類型

  類型1:設(shè) ,(1) 上恒成立 ;(2) 上恒成立 。

  類型2:設(shè)

 。1)當(dāng) 時, 上恒成立 ,

  上恒成立

 。2)當(dāng) 時, 上恒成立

  上恒成立

  類型3:

  。

  類型4:

  恒成一、用一次函數(shù)的性質(zhì)

  對于一次函數(shù) 有:

  例1:若不等式 對滿足 的所有 都成立,求x的范圍。

  解析:我們可以用改變主元的辦法,將m視為主變元,即將元不等式化為: ,;令 ,則 時, 恒成立,所以只需 即 ,所以x的范圍是 。

  二、利用一元二次函數(shù)的判別式

  對于一元二次函數(shù) 有:

  (1) 上恒成立 ;(2) 上恒成立

  例2:若不等式 的解集是R,求m的范圍。

  解析:要想應(yīng)用上面的結(jié)論,就得保證是二次的,才有判別式,但二次項系數(shù)含有參數(shù)m,所以要討論m-1是否是0。

  (1)當(dāng)m-1=0時,元不等式化為2>0恒成立,滿足題意;

 。2) 時,只需 ,所以, 。

  三、利用函數(shù)的最值(或值域)

  (1) 對任意x都成立 ;

  (2) 對任意x都成立 。簡單計作:"大的大于最大的,小的小于最小的"。由此看出,本類問題實質(zhì)上是一類求函數(shù)的最值問題。

  例3:在 ABC中,已知 恒成立,求實數(shù)m的范圍。

  解:由 , , 恒成立, ,即 恒成立,

  例4:(1)求使不等式 恒成立的實數(shù)a的范圍。

  解析:由于函 ,顯然函數(shù)有最大值 , 。

  如果把上題稍微改一點,那么答案又如何呢?請看下題:

 。2)求使不等式 恒成立的實數(shù)a的范圍。

  解析:我們首先要認(rèn)真對比上面兩個例題的區(qū)別,主要在于自變量的取值范圍的變化,這樣使得 的最大值取不到 ,即a取 也滿足條件,所以 。

  所以,我們對這類題要注意看看函數(shù)能否取得最值,因為這直接關(guān)系到最后所求參數(shù)a的取值。利用這種方法時,一般要求把參數(shù)單獨放在一側(cè),所以也叫分離參數(shù)法。

  四:數(shù)形結(jié)合法

  對一些不能把數(shù)放在一側(cè)的,可以利用對應(yīng)函數(shù)的圖象法求解。

  例5:已知 ,求實數(shù)a的取值范圍。

  解析:由 ,在同一直角坐標(biāo)系中做出兩個函數(shù)的圖象,如果兩個函數(shù)分別在x=-1和x=1處相交,則由 得到a分別等于2和0.5,并作出函數(shù) 的圖象,所以,要想使函數(shù) 在區(qū)間 中恒成立,只須 在區(qū)間 對應(yīng)的圖象在 在區(qū)間 對應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng) 才能保證,而 才可以,所以 。

  例6:若當(dāng)P(m,n)為圓 上任意一點時,不等式 恒成立,則c的取值范圍是(   )

  A、     B、

  C、             D、

  解析:由 ,可以看作是點P(m,n)在直線 的右側(cè),而點P(m,n)在圓 上,實質(zhì)相當(dāng)于是 在直線的右側(cè)并與它相離或相切。 ,故選D。

  同步練習(xí)

  1、設(shè) 其中 ,如果 時, 恒有意義,求 的取值范圍。

  分析:如 時, 恒有意義,則可轉(zhuǎn)化為 恒成立,即參數(shù)分離后 , 恒成立,接下來可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值求解。

  解:如果 時, 恒有意義 ,對 恒成立.

  恒成立。

  令 , 又 則  對 恒成立,又 在 上為減函數(shù), , 。

  2、設(shè)函數(shù)是定義在 上的增函數(shù),如果不等式 對于任意 恒成立,求實數(shù) 的取值范圍。

  分析:本題可利用函數(shù)的單調(diào)性把原不等式問題轉(zhuǎn)化為 對于任意 恒成立,從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值求解。

  解: 是增函數(shù) 對于任意 恒成立

  對于任意 恒成立

  對于任意 恒成立,令 , ,所以原問題 ,又 即    易求得 。

  3、    已知當(dāng)x R時,不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立,求實數(shù)a的取值范圍。

  方法一)分析:在不等式中含有兩個變量a及x,本題必須由x的范圍(x R)來求另一變量a的范圍,故可考慮將a及x分離構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)定義域上的最值求解a的取值范圍。

  解:原不等式

  當(dāng)x R時,不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立

  設(shè) 則

  ∴

  方法二)題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x,而cos2x=1-2sin2x,故若采用換元法把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次不等式,從而可利用二次函數(shù)區(qū)間最值求解。

  解:不等式a+cos2x<5-4sinx可化為

  a+1-2sin2x<5-4sinx,令sinx=t,則t [-1,1],

  不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立 2t2-4t+4-a>0,t [-1,1]恒成立。

  設(shè)f(t)= 2t2-4t+4-a,顯然f(x)在[-1,1]內(nèi)單調(diào)遞減,f(t)min=f(1)=2-a, 2-a>0 a<2

  4、設(shè)f(x)=x2-2ax+2,當(dāng)x [-1,+ )時,都有f(x) a恒成立,求a的取值范圍。

  分析:在f(x) a不等式中,若把a移到等號的左邊,則原問題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間恒成立問題。

  解:設(shè)F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.

 、)當(dāng) =(-2a)2-4(2-a)=4(a-1)(a+2)<0時,即-2<a<1時,對一切x [-1,+ ),F(xiàn)(x)  0恒成立;

 、ⅲ┊(dāng) =4(a-1)(a+2)  0時由圖可得以下充要條件: 即

  得-3 a -2;綜上所述:a的取值范圍為[-3,1]。

  5、當(dāng)x (1,2)時,不等式(x-1)2<logax恒成立,求a的取值范圍。

  分析:若將不等號兩邊分別設(shè)成兩個函數(shù),則左邊為二次函數(shù),右邊為對數(shù)函數(shù),故可以采用數(shù)形結(jié)合借助圖象位置關(guān)系通過特指求解a的取值范圍。

  解:設(shè)T1: = ,T2: ,則T1的圖象為右圖所示的拋物線,要使對一切x (1,2),  < 恒成立即T1的圖象一定要在T2的圖象所的下方,顯然a>1,并且必須也只需 ,故loga2>1,a>1, 1<a 2.

  6、已知關(guān)于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解,求實數(shù)a的取值范圍。

  分析:原方程可化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),從而得x2+20x=8x-6a-3>0,若將等號兩邊分別構(gòu)造函數(shù)即二次函數(shù)y= x2+20x與一次函數(shù)y=8x-6a-3,則只需考慮這兩個函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點即可。

  解:令T1:y1= x2+20x=(x+10)2-100, T2:y2=8x-6a-3,則如圖所示,T1的圖象為一拋物線,T2的圖象是一條斜率為定值8,而截距不定的直線,要使T1和T2在x軸上有唯一交點,則直線必須位于l1和l2之間。(包括l1但不包括l2)

  當(dāng)直線為l1時,直線過點(-20,0)此時縱截距為-6a-3=160,a= ;

  當(dāng)直線為l2時,直線過點(0,0),縱截距為-6a-3=0,a= ∴a的范圍為[ , )。

 

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