2019年高考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)專練:利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2018-10-19 21:09:46
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型
1. (2017·課標(biāo)全國III卷理)已知函數(shù) 有唯一零點,則 ( )
A. B. C. D.1
2.(2016o天津卷文) 已知函數(shù) 在R上單調(diào)遞減,且關(guān)于x的方程 恰有兩個不相等的實數(shù)解,則 的取值范圍是_________.
3.(2015·北京理)(本題滿分13分) 已知函數(shù) .
(I)求曲線 在點 處的切線方程;
(II)求證:當(dāng) 時, ;
(III)設(shè)實數(shù) 使得 對 恒成立,求 的最大值.
4. (2017·課標(biāo)全國II卷文)(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.
。1)討論f(x)的單調(diào)性;
。2)當(dāng)x 0時,f(x) ax+1,求a的取值范圍.
5. (2015·課標(biāo)全國II卷理)(本題滿分12分) 設(shè)函數(shù) .
(I)證明: 在 單調(diào)遞減,在 單調(diào)遞增;
(II)若對于任意 , ,都有 ,求 的取值范圍.
6.(2015o山東卷文)(本題滿分13分)設(shè)函數(shù) , ,已知曲線 在點 處的切線與直線 平行.
(I)求 的值;
(II)是否存在自然數(shù) ,使方程 在 內(nèi)存在唯一的根?如果存在,求出 ;如果不存在,請說明理由;
(III)設(shè)函數(shù) 表示 , 中的較小值),求 的最大值.
7.(2015·課標(biāo)全國Ⅰ卷理)(本題滿分12分) 已知函數(shù) , .
(I)當(dāng) 為何值時, 軸為曲線 的切線;
(II)用 表示 , 中的最小值,設(shè)函數(shù) ,討論 零點的個數(shù).
8.(2016·天津理)(本題滿分14分)
設(shè)函數(shù) , R,其中 , R.
。á瘢┣ 的單調(diào)區(qū)間;
。á颍┤ 存在極值點 ,且 ,其中 ,求證: ;
(Ⅲ)設(shè) ,函數(shù) ,求證: 在區(qū)間 上的最大值不小于 .
9.(2017·課標(biāo)全國III卷理)(本題滿分12分)
已知函數(shù) .
。1)若 ,求的值;
。2)設(shè) 為整數(shù),且對于任意正整數(shù), ,求 的最小值.
10.(2017·課標(biāo)全國II卷理)(本題滿分12分)
已知函數(shù) 且 .
。1)求a;
。2)證明: 存在唯一的極大值點 ,且 .
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型答案
1. (2017·課標(biāo)全國III卷理)已知函數(shù) 有唯一零點,則 ( )
A. B. C. D.1
【答案】C
【解析】由條件, ,得:
∴ ,即 為 的對稱軸,
由題意, 有唯一零點,
∴ 的零點只能為 ,
即 ,解得 .
2.(2016o天津卷文) 已知函數(shù) 在R上單調(diào)遞減,且關(guān)于x的方程 恰有兩個不相等的實數(shù)解,則 的取值范圍是_________.
【答案】13,23
【解析】由函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減可得32-2a≥0,0<a<1,3a≥1,解得13≤a≤34.關(guān)于x的方程|f(x)|=2-x3恰有兩個不相等的實數(shù)根,即曲線y=|f(x)|與函數(shù)y=2-x3的圖像恰有兩個交點,則3a<2,a<23.綜上可得a的取值范圍是13≤a<23.
【點評】關(guān)鍵點撥:注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用,將方程的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題,通過觀察圖像,進而確定不等式,求得參數(shù)的取值范圍.
測訓(xùn)診斷:(1)本題難度較大,主要考查函數(shù)與方程,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用、運算求解能力,意在讓部分學(xué)生得分.(2)本題若出錯,一是不能正確地進行轉(zhuǎn)化;二是運算錯誤;三是不能利用數(shù)形結(jié)合思想直觀轉(zhuǎn)化.
3.(2015·北京理)(本題滿分13分) 已知函數(shù) .
(I)求曲線 在點 處的切線方程;
(II)求證:當(dāng) 時, ;
(III)設(shè)實數(shù) 使得 對 恒成立,求 的最大值.
解:(1)因為f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),所以f ′(x)=11+x+11-x,f ′(0)=2.
又因為f(0)=0,所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=2x.
(2)證明:令g(x)=f(x)-2x+x33,則g′(x)=f ′(x)-2(1+x2)=2x41-x2.
因為g′(x)>0(0<x<1),所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增.
所以g(x)>g(0)=0,x∈(0,1),即當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)>2x+x33 .
(3)由(2)知,當(dāng)k≤2時,f(x)>kx+x33對x∈(0,1)恒成立.
當(dāng)k>2時,令h(x)=f(x)-kx+x33,則h′(x)=f ′(x)-k(1+x2)=kx4-(k-2)1-x2.
所以當(dāng)0<x<4k-2k時,h′(x)<0,因此h(x)在區(qū)間0,4k-2k上單調(diào)遞減.
所以?x0∈(0,1),h(x0)<h(0)=0,即f (x0)<kx0+x303.
所以當(dāng)k>2時,f (x)>kx+x33并非對x∈(0,1)恒成立.
綜上可知,k的最大值為2.
【點評】關(guān)鍵點撥:(2)中,證明x∈(0,1)時,f (x)>2x+x33,只需構(gòu)造函數(shù)g(x)=f (x)-2x+x33,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=g(x)的最小值大于0.(3)中可用同樣的方法.
刷有所得:(1)比較大小常采用作差法,證明x∈D,f(x)>g(x)成立,可等價轉(zhuǎn)化為f(x)-g(x)>0來證,令h(x)=f(x)-g(x),只需證h(x)min>0.
(2)不等式f(x)>g(x)對x∈D恒成立,求參數(shù)a的取值范圍,常采用作差法構(gòu)造函數(shù)求最值,即f(x)-g(x)>0對x∈D恒成立,令h(x)=f(x)-g(x)只需求h(x)min>0時a的取值范圍;也可以采用將參數(shù)a與變量x分離,即a>φ(x)(或a<φ(x))對x∈D恒成立,只需a>φ(x)max(或a<φ(x)min).
測訓(xùn)診斷:本題難度偏難,主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查學(xué)生的運算能力,及轉(zhuǎn)化與化歸思想.
4. (2017·課標(biāo)全國II卷文)(本題滿分12分) 設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.
。1)討論f(x)的單調(diào)性;
。2)當(dāng)x 0時,f(x) ax+1,求a的取值范圍.
解:(1)
令 得 ,解得
∴ 在區(qū)間 是減函數(shù),在區(qū)間 是增函數(shù)
。2)∵ 時, ,∴
∴ ,令 ,
即 時, ,而 ,∴ ∴ ;
再令 ,
時, 恒成立. ∴ 在 是增函數(shù),恒有 ,
從而 是增函數(shù), , 在 恒成立,故 即為所求.
5. (2015·課標(biāo)全國II卷理)(本題滿分12分) 設(shè)函數(shù) .
(I)證明: 在 單調(diào)遞減,在 單調(diào)遞增;
(II)若對于任意 , ,都有 ,求 的取值范圍.
解:(1) 證明:f ′(x)=m(emx-1)+2x.
若m≥0,則當(dāng)x∈(-∞,0)時,emx-1≤0,f ′(x)<0;
當(dāng)x∈(0,+∞)時,emx-1≥0,f ′(x)>0.
若m<0,則當(dāng)x∈(-∞,0)時,emx-1>0,f ′(x)<0;
當(dāng)x∈(0,+∞)時,emx-1<0,f ′(x)>0.
所以,f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增.
(2)由(1)知,對任意的m,f(x)在[-1,0]單調(diào)遞減,在[0,1]單調(diào)遞增,故f(x)在x=0處取得最小值.
所以對于任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1的充要條件是f(1)-f(0)≤e-1,f(-1)-f(0)≤e-1,
即em-m≤e-1,e-m+m≤e-1.①
設(shè)函數(shù)g(t)=et-t-e+1,則g′(t)=et-1.
當(dāng)t<0時,g′(t)<0;
當(dāng)t>0時,g′(t)>0.
故g(t)在(-∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增.
又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,故當(dāng)t∈[-1,1]時,g(t)≤0.
當(dāng)m∈[-1,1]時,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;
當(dāng)m>1時,由g(t)的單調(diào)性,g(m)>0,即em-m>e-1;
當(dāng)m<-1時,g(-m)>0,即e-m+m>e-1.
綜上,m的取值范圍是[-1,1].
【點評】關(guān)鍵點撥:第一問,雖然含有參數(shù),但是目標(biāo)是證明單調(diào)性,用導(dǎo)數(shù)的知識解題,注意分類討論.?x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1?x∈[-1,1]時,f(x)max-f(x)min≤e-1,又由第一問,易知f(x)min=f(0),f(x)max=max{f(-1),f(1)}.
得條件?f(-1)-f(0)≤e-1,f(1)-f(0)≤e-1?e-m+m≤e-1,em-m≤e-1?解不等式em-m≤e-1.可設(shè) g(t)=et-t,由g(t)的性質(zhì)解不等式.
測訓(xùn)診斷:本題難度偏難,利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)的最值是高頻考點,要重點掌握,另注意做題規(guī)范,爭取少失分,得滿分.
6.(2015o山東卷文)(本題滿分13分)設(shè)函數(shù) , ,已知曲線 在點 處的切線與直線 平行.
(I)求 的值;
(II)是否存在自然數(shù) ,使方程 在 內(nèi)存在唯一的根?如果存在,求出 ;如果不存在,請說明理由;
(III)設(shè)函數(shù) 表示 , 中的較小值),求 的最大值.
解:(1)由題意知,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為2,
所以f ′(1)=2,又f ′(x)=ln x+ax+1,
所以a=1.
(2)k=1時,方程f(x)=g(x)在(1,2)內(nèi)存在唯一的根.
設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-x2ex,
當(dāng)x∈(0,1]時,h(x)<0.又因為h(2)=3ln 2-4e2=ln 8-4e2>1-1=0,
所以存在x0∈(1,2),使得h(x0)=0.又因為h′(x)=ln x+1x+1+x(x-2)ex,
所以當(dāng)x∈(1,2)時,h′(x)>1-1e>0,當(dāng)x∈(2,+∞)時,h′(x)>0,
所以,當(dāng)x∈(1,+∞)時,h(x)單調(diào)遞增.
所以k=1時,方程f(x)=g(x)在(k,k+1)內(nèi)存在唯一的根.
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