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高三模擬文科數(shù)學(xué)試題之函數(shù)與方程

來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2018-10-19 20:50:47

  高三模擬文數(shù)試題專題函數(shù)匯編之函數(shù)與方程含解析

  一、解答題(本大題共51小題,共612.0分)

  1.已知函數(shù)f(x)=sin2x-sin2(x- ),x∈R.

  (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

 。2)若關(guān)于x的方程2f(x)-m+1=0在區(qū)間[- , ]上有兩個(gè)相異的實(shí)根,求m的取值范圍.

  2.某公司生產(chǎn)一批A產(chǎn)品需要原材料500噸,每噸原材料可創(chuàng)造利潤(rùn)12萬元.該公司通過設(shè)備升級(jí),生產(chǎn)這批A產(chǎn)品所需原材料減少了x噸,且每噸原材料創(chuàng)造的利潤(rùn)提高0.5x%;若將少用的x噸原材料全部用于生產(chǎn)公司新開發(fā)的B產(chǎn)品,每噸原材料創(chuàng)造的利潤(rùn)為12(a- x)萬元(a>0).

 。á瘢┤粼O(shè)備升級(jí)后生產(chǎn)這批A產(chǎn)品的利潤(rùn)不低于原來生產(chǎn)該批A產(chǎn)品的利潤(rùn),求x的取值范圍.

 。á颍┤羯a(chǎn)這批B產(chǎn)品的利潤(rùn)始終不高于設(shè)備升級(jí)后生產(chǎn)這批A產(chǎn)品的利潤(rùn),求a的最大值.

  3.已知不等式|x+3|-2x-1<0的解集為(x0,+∞)

 。á瘢┣髕0的值;

 。á颍┤艉瘮(shù)f(x)=|x-m|+|x+ |-x0(m>0)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的值.

  4.已知函數(shù)f(x)=|x-1|.若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求證:f(ab)>|a|f( ).

  5.如果定義在R上的函數(shù)f(x),對(duì)任意的x∈R,都有f(-x)≠-f(x),則稱該函數(shù)是"β函數(shù)".

 。á瘢 分別判斷下列函數(shù):①y=2x;②y=2x+1; ③y=x2-2x-3,是否為"β函數(shù)"?(直接寫出結(jié)論)

 。á颍 若函數(shù)f(x)=sinx+cosx+a是"β函數(shù)",求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

 。á螅 已知f(x)= 是"β函數(shù)",且在R上單調(diào)遞增,求所有可能的集合A與B.

  6.設(shè)函數(shù)f(x)= ,其中a∈R.

 。1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的零點(diǎn);

  (2)當(dāng)a>0時(shí),求證:函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

  7.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+1,(a∈R)

 。1)若在f(x)的圖象上橫坐標(biāo)為 的點(diǎn)處存在垂直于y軸的切線,求a的值;

  (2)若f(x)在區(qū)間(-2,3)內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),求a取值范圍;

 。3)在(1)的條件下,是否存在實(shí)數(shù)m,使得函數(shù)g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn),若存在,試出實(shí)數(shù)m的值;若不存在,說明理由.

  8.出定義在(0,+∞)上的三個(gè)函數(shù):f(x)=lnx,g(x)=x2-af(x), ,已知g(x)在x=1處取極值.

  (Ⅰ)確定函數(shù)h(x)的單調(diào)性;

 。á颍┣笞C:當(dāng)1<x<e2時(shí),恒有 成立;

 。á螅┌押瘮(shù)h(x)的圖象向上平移6個(gè)單位得到函數(shù)h1(x)的圖象,試確定函數(shù)y=g(x)-h1(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由.

  9.設(shè)函數(shù)fn(x)=xn+ +c(x∈(0,+∞),n∈N*,b,c∈R).

  (1)當(dāng)b=-1時(shí),對(duì)于一切n∈N*,函數(shù)fn(x)在區(qū)間( ,1)內(nèi)總存在唯一零點(diǎn),求c的取值范圍;

 。2)若f2(x)區(qū)間[1,2]上是單調(diào)函數(shù),求b的取值范圍;

 。3)當(dāng)b=-1,c=1時(shí),函數(shù)fn(x)在區(qū)間( ,1)內(nèi)的零點(diǎn)為xn,判斷數(shù)列x1,x2,…,xn,…的增減性,并說明理由.

  10.已知g(x)=x2-2ax+1在區(qū)間[1,3]上的值域[0,4].

 。1)求a的值;

 。2)若不等式g(2x)-ko4x≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;

  (3)若函數(shù) 有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

  11.a∈(0,3)求函數(shù)y=(x)在∈[12]上的最大;

  已知函數(shù)f(x)=x|x-|1(x∈.

  對(duì)于給定的數(shù)a,一個(gè)最的正,x∈[0,M]時(shí),都有|fx)|≤2試求出個(gè)正數(shù)M,求它的值范圍.

  12.已知函數(shù)f(x)=x2-2lnx-2ax(a∈R).

 。1)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;

  (2)當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),試討論關(guān)于x的方程f(x)+ax2=0實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).

  13.已知函數(shù)f(x)=ex-ax(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

 。1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

  (2)討論關(guān)于x的方程f(x)=a的根的個(gè)數(shù);

 。3)若a≥-1,當(dāng)xf(x)≥x3- +3ax-1+m對(duì)任意x∈[0,+∞)恒成立時(shí),m的最大值為1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

  14.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若存在常數(shù)T≠0,使得f(x)=Tf(x+T)對(duì)任意的x∈R成立,則稱函數(shù)f(x)是Ω函數(shù).

 。á瘢┡袛嗪瘮(shù)f(x)=x,g(x)=sinπx是否是Ω函數(shù);(只需寫出結(jié)論)

 。á颍┱f明:請(qǐng)?jiān)冢╥)、(ii)問中選擇一問解答即可,兩問都作答的按選擇(i)計(jì)分

  (i)求證:若函數(shù)f(x)是Ω函數(shù),且f(x)是偶函數(shù),則f(x)是周期函數(shù);

 。╥i)求證:若函數(shù)f(x)是Ω函數(shù),且f(x)是奇函數(shù),則f(x)是周期函數(shù);

 。á螅┣笞C:當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)=ax一定是Ω函數(shù).

  15.已知函數(shù)f(x)=log3 ,g(x)=-2ax+a+1,h(x)=f(x)+g(x).

 。á瘢┊(dāng)a=-1時(shí),證明h(x)是奇函數(shù);

 。á颍┤絷P(guān)于x的方程f(x)=log3g(x)有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

  16.設(shè)函數(shù)f(x)= x3+bx2+cx(a,b,c∈R,a≠0).

 。1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),求b的值;

  (2)在(1)的條件下,若a=-3,函數(shù)f(x)在[-2,2]的值域?yàn)閇-2,2],求f(x)的零點(diǎn);

  (3)若不等式axf′(x)≤f(x)+1對(duì)一切x∈R恒成立,求a+b+c的取值范圍.

  17.在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).定義: ,其中α∈R+(R+表示正實(shí)數(shù)).

  (Ⅰ)設(shè)A(1,1),B(2,3),求d1(A,B)和d2(A,B)的值;

 。á颍 求證:對(duì)平面中任意兩點(diǎn)A和B都有 ;

 。á螅┰O(shè)M(x,y),O為原點(diǎn),記 .若0<α<β,試寫出Dα與Dβ的關(guān)系(只需寫出結(jié)論,不必證明).

  18.已知a∈R,函數(shù)f(x)= .

  (1)若f(2)=-3,求實(shí)數(shù)a的值;

 。2)若關(guān)于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰好有一個(gè)元素,求a的取值范圍.

  (3)設(shè)a>0,若對(duì)任意t∈[ ,1],函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值與最小值的差不超過1,求a的取值范圍.

  19.已知函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=2loga(2x+t)(t∈R),a>0,且a≠1.

 。á瘢┤3是關(guān)于x的方程f(x)-g(x)=0的一個(gè)解,求t的值;

 。á颍┊(dāng)0<a<1且t=1時(shí),解不等式f(x)≤g(x);

  (Ⅲ)若函數(shù)F(x)=af(x)+tx2-2t+1在區(qū)間(-1,3]上有零點(diǎn),求t的取值范圍.

  20.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-e1-x,g(x)=a(x2-1)- .

  (1)判斷函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由;

 。2)記h(x)=g(x)-f(x)+ ,討論h(x)的單調(diào)性;

 。3)若f(x)<g(x)在(1,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

  21.設(shè)f(x)=xex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),g(x)=(x+1)2.

 。↖)記 ,討論函F(x)單調(diào)性;

 。↖I)令G(x)=af(x)+g(x)(a∈R),若函數(shù)G(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

 。╥)求參數(shù)a的取值范圍;

 。╥i)設(shè)x1,x2是G(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明x1+x2+2<0.

  22.已知函數(shù) (a∈R).

 。1)若f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線與直線2x+y+2=0垂直,求實(shí)數(shù)a的值;

  (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

  (3)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e2]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

  23.設(shè)函數(shù)f(x)=k(x-1)-2lnx(k>0).

 。1)若函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的值;

 。2)設(shè)函數(shù)g(x)=xe1-x(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若對(duì)任意給定的s∈(0,e),均存在兩個(gè)不同的ti∈( )(i=1,2),使得f(ti)=g(s)成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

  24.已知函數(shù)f(x)=2x3-3x+1,g(x)=kx+1-lnx.

 。1)設(shè)函數(shù) ,當(dāng)k<0時(shí),討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

 。2)若過點(diǎn)P(a,-4)恰有三條直線與曲線y=f(x)相切,求a的取值范圍.

  25.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),滿足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x-1

 。á瘢┣蠛瘮(shù)f(x)的解析式;

  (Ⅱ)當(dāng)x∈[-1,2]時(shí),求函數(shù)的最大值和最小值.

  (Ⅲ)若函數(shù)g(x)=f(x)-mx的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(-1,2)和(2,4)內(nèi),求m的取值范圍.

  26.(1)若方程|3x-1|=k有兩個(gè)不同解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;

  (2)求函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

 。3)設(shè)f(x)=x2-3x+a.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)內(nèi)有根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

  27.已知函數(shù)g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0),在區(qū)間(0,3]上有最大值5,最小值1,設(shè)f(x)= .

 。1)求a、b的值;

 。2)若不等式f(2x)-ko2x≥0在[-1,1]上恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;

 。3)若f(|2x-1|)+ko -3k=0在(1,+∞)有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

  28.已知t為常數(shù)且0<t<1,函數(shù)g(x)= (x+ )(x>0),h(x)= .

 。1)求證:g(x)在(0, )上單調(diào)遞減,在( ,+∞)上單調(diào)遞增;

 。2)若函數(shù)g(x)與h(x)的最小值恰為函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的兩個(gè)零點(diǎn),求a+b的取值范圍.

  29.已知函數(shù)f(x)= ,

 。1)畫出f(x)的函數(shù)圖象;

  (2)若關(guān)于x的方程f(x)+x-a=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求a的范圍.

  30.已知函數(shù)f(x)的定義域D?(0,+∞),若f(x)滿足對(duì)任意的一個(gè)三邊長(zhǎng)為a,b,c∈D的三角形,都有f(a),f(b),f(c)也可以成為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),則稱f(x)為"保三角形函數(shù)".

  (1)判斷g(x)=sinx,x∈(0,π)是否為"保三角形函數(shù)",并說明理由;

 。2)證明:函數(shù)h(x)=lnx,x∈[2,+∞)是"保三角形函數(shù)";

 。3)若f(x)=sinx,x∈(0,λ)是"保三角形函數(shù)",求實(shí)數(shù)λ的最大值.

  31.已知函數(shù) 是奇函數(shù).

  (1)求實(shí)數(shù)a的值;

 。2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-log2(mx),是否存在非零實(shí)數(shù)m使得函數(shù)g(x)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說明理由.

  32.已知函數(shù)f(x)=|a2x2-1|+ax,(其中a∈R,a≠0).

 。1)當(dāng)a<0時(shí),若函數(shù)y=f(x)-c恰有x1,x2,x3,x4這4個(gè)零點(diǎn),求x1+x2+x3+x4的值;

 。2)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),求函數(shù)y=f(x)(其中a<0)的最大值M(a).

  33.已知函數(shù)f(x)=x- ,m∈R,且m≠0.

 。1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

 。2)若m=-1,求證:函數(shù)F(x)=x- 有且只有一個(gè)零點(diǎn).

  34.已知函數(shù) (a>1),求證:

 。1)函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù);

 。2)方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.

  35.已知向量 =(cos ,sin ), =(cos ,-sin ),函數(shù)f(x)= o -m| + |+1,x∈[- , ],m∈R.

  (1)當(dāng)m=0時(shí),求f( )的值;

 。2)若f(x)的最小值為-1,求實(shí)數(shù)m的值;

  (3)是否存在實(shí)數(shù)m,使函數(shù)g(x)=f(x)+ m2,x∈[- , ]有四個(gè)不同的零點(diǎn)?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說明理由.

  36.已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2+2x.

  (1)求f(x)的解析式;

 。2)若不等式f(t-2)+f(2t+1)>0成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

  37.函數(shù)fn(x)=xn+bx+c(n∈Z,b,c∈R).

 。1)若n=-1,且f-1(1)=f-1( )=4,試求實(shí)數(shù)b,c的值;

 。2)設(shè)n=2,若對(duì)任意x1,x2∈[-1,1]有|f2(x1)-f2(x2)|≤4恒成立,求b的取值范圍;

 。3)當(dāng)n=1時(shí),已知bx2+cx-a=0,設(shè)g(x)= ,是否存在正數(shù)a,使得對(duì)于區(qū)間 上的任意三個(gè)實(shí)數(shù)m,n,p,都存在以f1(g(m)),f1(g(n)),f1(g(p))為邊長(zhǎng)的三角形?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

  38.設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=lnx-ax,g(x)= x3+x+1.

  (1)若曲線y=g(x)的切線l過點(diǎn)A(0, ),求切線l的方程;

 。2)討論函數(shù)h(x)=2f(x)+g(x)- x3的單調(diào)性;

 。3)若x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)相異零點(diǎn),求證:g(x1x2)>g(e2).(e為自然對(duì)數(shù)底數(shù))

  39.已知函數(shù) f(x)=ln(ex+a)(a為常數(shù),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù),函數(shù)g(x)=λf(x)+sin x在區(qū)間[-1,1]上是減函數(shù).

 。1)求實(shí)數(shù)a的值;

 。2)若在x∈[-1,1]上g(x)≤t2+λt+1恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;

 。3)討論關(guān)于x的方程 =x2-2ex+m的根的個(gè)數(shù).

  40.已知函數(shù)f(x)=ax2-(5a-1)x+3a+1(a∈R).

 。1)若f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),求a的取值范圍;

 。2)在(1)的條件下,若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,5]上有零點(diǎn),求a的取值范圍.

  41.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-1,2],且函數(shù)f(x)在x=1和x=- 處都取得極值.

 。↖)求實(shí)數(shù)a與b的值;

 。↖I)對(duì)任意x∈[-1,2],方程f(x)=2c存在三個(gè)實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

  42.已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-2ax-1.

  (Ⅰ)當(dāng)a= 時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

 。á颍┰O(shè)函數(shù)g(x)=f′(x),討論g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);若存在零點(diǎn),請(qǐng)求出所有的零點(diǎn)或給出每個(gè)零點(diǎn)所在的有窮區(qū)間,并說明理由(注:有窮區(qū)間指區(qū)間的端點(diǎn)不含有-∞和+∞的區(qū)間).

  43.已知函數(shù)f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1.

 。1)當(dāng)k=1時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值;

  (2)若函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

  44.已知函數(shù)f(x)= ,

 。1)求f(-3),f[f(-3)].

  (2)若f(a)=8,求a的值.

  45.設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,值域?yàn)锳,如果存在函數(shù)x=g(t),使得函數(shù)y=f(g(t))的值域仍是A,那么稱x=g(x)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)等值域變換.

  (1)已知函數(shù)f(x)=x2-x+1,x∈B,x=g(t)=log2t,t∈C.

  1°若B,C分別為下列集合時(shí),判斷x=g(t)是不是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)等值域變換:①B=R,C=(1,+∞);②B=R,C=(2,+∞)

  2°若B=[0,4],C=[a,b](0<a<b),若x=g(t)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)等值域變換,求a,b滿足的條件;

  (2)設(shè)f(x)=log2x的定義域?yàn)閤∈[2,8],已知x=g(t)= 是y=f(x)的一個(gè)等值域變換,且函數(shù)y=f[g(t)]的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)m,n的值.

  46.已知函數(shù)f(x)= ,g(x)= .

  (1)求函數(shù)h(x)=f(x)+2g(x)的零點(diǎn);

 。2)若直線l:ax+by+c=0(a,b,c為常數(shù))與f(x)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B,與g(x)的圖象交于不同的兩點(diǎn)C、D,求證:|AC|=|BD|;

 。3)求函數(shù)F(x)=[f(x)]2n-[g(x)]2n(n∈N*)的最小值.

  47.已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體,存在實(shí)數(shù)a、k(k≠0),對(duì)于定義域內(nèi)的任意x均有f(a+x)=kf(a-x)成立,稱數(shù)對(duì)(a,k)為函數(shù)f(x)的"伴隨數(shù)對(duì)"

 。1)判斷f(x)=x2是否屬于集合M,并說明理由;

 。2)若函數(shù)f(x)=sinx∈M,求滿足條件的函數(shù)f(x)的所有"伴隨數(shù)對(duì)";

  (3)若(1,1),(2,-1)都是函數(shù)f(x)的"伴隨數(shù)對(duì)",當(dāng)1≤x<2時(shí), ;當(dāng)x=2時(shí),f(x)=0.求當(dāng)2014≤x≤2016時(shí),函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).

  48.某地區(qū)預(yù)計(jì)從明年初開始的前幾個(gè)月內(nèi),對(duì)某種商品的需求總量f(x)(萬件)與月份數(shù)x的近似關(guān)系為f(x)= x(x+1)(35-2x)(x∈N,x≤12).

  (1)寫出明年第x個(gè)月的需求量g(x)(萬件)與月份數(shù)x的函數(shù)關(guān)系;

 。2)求出需求量最大的月份數(shù)x,并求出這前x個(gè)月的需求總量.

  49.已知定義在(0,+∞)上的函數(shù) (其中 ),

 。á瘢┤舢(dāng)且僅當(dāng)b∈(0,1)時(shí),方程f(x)=b有三個(gè)不等的實(shí)根,求a的值;

 。á颍┤艉瘮(shù)g(x)=|f(x)|在 上的最大值為M(a),求M(a)的表達(dá)式.

  50.已知直線y=1與曲線y=x2-|x|+a有四個(gè)交點(diǎn).

 。1)求證:f(x)=x2-|x|+a為偶函數(shù).

  (2)求當(dāng)x≥0時(shí),f(x)的解析式,并作出符合已知條件的函數(shù)f(x)圖象.

 。3)求a的取值范圍.

  51.已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

  (1)當(dāng)m=1時(shí),判斷方程根的情況.

 。2)若方程有兩根,其中一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi),求m的取值范圍.

  【答案】

  1.解:( 1 ) 由已知,有f(x)= cos2x

  = .

  設(shè)2kπ+ ,解得kπ+ ,

  故f(x)的單調(diào)減區(qū)間為: .

  (2)由題意可知,函數(shù)y=2f(x)與函數(shù)y=m-1的圖象在

  區(qū)間 上有兩個(gè)交點(diǎn),

  ∵ ,

  ∴2f(x)=2o sin(2x- )∈[-1, ],

  結(jié)合圖象可得:-1<m-1≤- ,解得0<m≤ .

  2.解:(Ⅰ)由題意,12(500-x)(1+0.5x%)≥12×500,

  ∴x2-300x≤0,

  ∵x>0,

  ∴0<x≤300;

  (Ⅱ)生產(chǎn)B產(chǎn)品創(chuàng)造利潤(rùn)12(a- x)x萬元,設(shè)備升級(jí)后生產(chǎn)這批A產(chǎn)品的利潤(rùn)12(500-x)(1+0.5x%),

  ∴12(a- x)x≤12(500-x)(1+0.5x%),

  ∴a≤ + + .

  ∵ + ≥2 =4,當(dāng)且僅當(dāng) = ,即x=250時(shí)等號(hào)成立,

  ∴0<a≤5.5,

  ∴a的最大值是5.5.

  3.解:(Ⅰ)不等式轉(zhuǎn)化為 或 ,

  解得x>2,∴x0=2;

 。á颍┯深}意,等價(jià)于|x-m|+|x+ |=2(m>0)有解,

  ∵|x-m|+|x+ |≥m+ ,當(dāng)且僅當(dāng)(x-m)(x+ )≤0時(shí)取等號(hào),

  ∵|x-m|+|x+ |=2(m>0)有解,

  ∴m+ ≤2,

  ∵m+ ≥2,

  ∴m+ =2,∴m=1.

  4.證明:∵|a|<1,|b|<1,且a≠0,

  ∴要證f(ab)>|a|f( ),

  只需證|ab-1|>|b-a|,

  只需證(ab-1)2>(b-a)2,

  而(ab-1)2-(b-a)2=a2b2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1)>0顯然成立,

  從而原不等式成立.

  5.解:(Ⅰ)①、②是"β 函數(shù)",③不是"β函數(shù)".…(3分)

 。á颍┯深}意,對(duì)任意的x∈R,f(-x)≠-f(x),即f(-x)+f(x)≠0,.

  因?yàn)閒(x)=sinx+cosx+a,所以f(-x)=-sinx+cosx+a.

  故f(-x)+f(x)=2cosx+2a

  由題意,對(duì)任意的x∈R,2cosx+2a≠0,即a≠-cosx.…(6分)

  故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,-1)∪(1,+∞).…(8分)

 。á螅1)對(duì)任意的x≠0

  (a)若x∈A且-x∈A,則-x≠x,f(-x)=f(x),這與y=f(x)在R上單調(diào)遞增矛盾,(舍),

 。╞)若x∈B且-x∈B,則f-(x)=-x=-f(x),這與y=f(x)是"β函數(shù)"矛盾,(舍).

  此時(shí),由y=f(x)的定義域?yàn)镽,故對(duì)任意的x≠0,x與-x恰有一個(gè)屬于A,另一個(gè)屬于B.

  (2)假設(shè)存在x0<0,使得x0∈A,則由x0< ,故f(x0)<f( ).

 。╝)若 ,則f( )= ,矛盾,

 。╞)若 ,則f( )= ,矛盾.

  綜上,對(duì)任意的x<0,x?A,故x∈B,即(-∞,0)?B,則(0,+∞)?A.

 。3)假設(shè)0∈B,則f(-0)=-f(0)=0,矛盾.故0∈A

  故A=[0,+∞),B=(-∞,0).

  經(jīng)檢驗(yàn)A=[0,+∞),B=(-∞,0).符合題意   …(13分)

  6.解:(1)當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)f(x)= = ,

  令|x|-2x2(x+2)=0,可得  ①,或  ②.

  解①可得x=0,或x= -1.

  解②可得x=-1+ ,或x=-1- .

  綜上可得,當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x=0,或x= -1,或x=-1+ ,或x=-1- .

  (2)證明:∵當(dāng)a>0時(shí),若x>0,則函數(shù)f(x)= = -ax2 = .

  令f(x)=0,可得x(1-ax2-2ax)=0,解得x=-1+ ,或x=-1- (舍去).

  ∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有唯一零點(diǎn)x=-1+ .

  7.解:(1)依題意,f′( )=0

  ∵f′(x)=-3x2+2ax

  -3( )2+2oao =0,

  ∴a=1(3分)

 。2)若f(x)在區(qū)間(-2,3)內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),

  則方程f′(x)=0在區(qū)間(-2,3)內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根,

  ∴△>0,f′(-2)<0,f′(3)<0,-2< <3,

  解得-3<a< 且a≠0

  但a=0時(shí),f(x)=-x3+1無極值點(diǎn),

  ∴a的取值范圍為(-3,0)∪(0, )(8分)

 。3)在(1)的條件下,a=1,

  要使函數(shù)f(x)與g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn),

  等價(jià)于方程-x3+x2+1=x4-5x3+(2-m)x2+1,

  即方程x2(x2-4x+1-m)=0恰有三個(gè)不同的實(shí)根.

  ∵x=0是一個(gè)根,

  ∴應(yīng)使方程x2-4x+1-m=0有兩個(gè)非零的不等實(shí)根,

  由△=16-4(1-m)>0,1-m≠0,解得m>-3,m≠1(12分)

  ∴存在m∈(-3,1)∪(1,+∞),

  使用函數(shù)f(x)與g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)(13分)

  8.解:(Ⅰ)由題設(shè),g(x)=x2-alnx,

  則 .(1分)

  由已知,g'(1)=0,

  即2-a=0?a=2.(2分)

  于是 ,

  則 .(3分)

  由 ,

  所以h(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),在(0,1)上是減函數(shù).(4分)

  證明:(Ⅱ)當(dāng)1<x<e2時(shí),0<lnx<2,

  即0<f(x)<2.(5分)

  欲證 ,

  只需證x[2-f(x)]<2+f(x),

  即證 .(6分)

  設(shè) ,

  則 .

  當(dāng)1<x<e2時(shí),φ'(x)>0,

  所以φ(x)在區(qū)間(1,e2)上為增函數(shù).(7分)

  從而當(dāng)1<x<e2時(shí),φ(x)>φ(1)=0,

  即 ,

  故 .(8分)

  解:(Ⅲ)由題設(shè), .

  令g(x)-h1(x)=0,

  則 ,

  即 .(9分)

  設(shè) ,

  h3(x)=-x2+x+6(x>0),

  則 ,

  由 ,得x>4.

  所以h2(x)在(4,+∞)上是增函數(shù),

  在(0,4)上是減函數(shù).(10分)

  又h3(x)在(0, )上是增函數(shù),

  在( ,+∞)上是減函數(shù).

  因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí),h2(x)→+∞,h3(x)→6.

  又h2(1)=2,h3(1)=6,h2(4)=4-2ln4>0,h3(4)=-6,

  則函數(shù)h2(x)與h3(x)的大致圖象如下:(12分)

  由圖可知,當(dāng)x>0時(shí),兩個(gè)函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn),

  故函數(shù)y=g(x)-h1(x)有2個(gè)零點(diǎn).(13分)
 

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