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高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn):函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式

來(lái)源:網(wǎng)絡(luò)資源 2018-10-19 20:28:10

  重點(diǎn)一  《函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式》

  一、知識(shí)要點(diǎn)

  1.映射:注意 ①第一個(gè)集合中的元素必須有象;②一對(duì)一,或多對(duì)一。

  2.函數(shù)值域的求法:

 、俜治龇 ;②配方法 ;③判別式法 ;④利用函數(shù)單調(diào)性 ;

 、輷Q元法 ;⑥利用均值不等式  ; ⑦利用數(shù)形結(jié)合或幾何意義(斜率、距離、絕對(duì)值的意義等);⑧利用函數(shù)有界性( 、 、 等);⑨導(dǎo)數(shù)法

  3.復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題

 。1)復(fù)合函數(shù)定義域求法:

  ① 若f(x)的定義域?yàn)椋踑,b],則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出

  ② 若f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],求 f(x)的定義域,相當(dāng)于x∈[a,b]時(shí),求g(x)的值域。

 。2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定:

 、偈紫葘⒃瘮(shù) 分解為基本函數(shù):內(nèi)函數(shù) 與外函數(shù) ;

 、诜謩e研究?jī)?nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性;

  ③根據(jù)"同性則增,異性則減"來(lái)判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。

  注意:外函數(shù) 的定義域是內(nèi)函數(shù) 的值域。

  4.分段函數(shù):值域(最值)、單調(diào)性、圖象等問(wèn)題,先分段解決,再下結(jié)論。

  5.函數(shù)的奇偶性

 、藕瘮(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件;

 、 是奇函數(shù)  ;

 、 是偶函數(shù)  ;

 、绕婧瘮(shù) 在原點(diǎn)有定義,則 ;

  ⑸在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi):奇函數(shù)有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)有相反的單調(diào)性;

 。6)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜,應(yīng)先等價(jià)變形,再判斷其奇偶性;

  6.函數(shù)的單調(diào)性

 、艈握{(diào)性的定義: 在區(qū)間 上是增(減)函數(shù) 當(dāng) 時(shí)   ;

 、茊握{(diào)性的判定定義法:注意:一般要將式子 化為幾個(gè)因式作積或作商的形式,以利于判斷符號(hào);②導(dǎo)數(shù)法(見導(dǎo)數(shù)部分);③復(fù)合函數(shù)法(見2 (2));④圖像法。

  注:證明單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。

  7.函數(shù)的周期性

  (1)周期性的定義:對(duì)定義域內(nèi)的任意 ,若有  (其中 為非零常數(shù)),則稱函數(shù) 為周期函數(shù), 為它的一個(gè)周期。所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒有特別說(shuō)明,遇到的周期都指最小正周期。

 。2)三角函數(shù)的周期

  ①  ;②  ;③ ;

 、  ;⑤ ;

  ⑶函數(shù)周期的判定:①定義法(試值) ②圖像法  ③公式法(利用(2)中結(jié)論)

 、扰c周期有關(guān)的結(jié)論:

 、 或    的周期為 ;

 、 的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱  周期2 ;

 、 的圖象關(guān)于直線 軸對(duì)稱  周期為2 ;

  ④ 的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱,直線 軸對(duì)稱  周期4 ;

  8.基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)

 、艃绾瘮(shù):  (  ;⑵指數(shù)函數(shù): ;

  ⑶對(duì)數(shù)函數(shù): ;⑷正弦函數(shù): ;

 、捎嘞液瘮(shù):  ;(6)正切函數(shù): ;⑺一元二次函數(shù): ;

 、唐渌S煤瘮(shù):①正比例函數(shù): ;

  ②反比例函數(shù): ;特別的 ,函數(shù) ;

  9.二次函數(shù):

 、沤馕鍪剑

  ①一般式: ;

  ②頂點(diǎn)式: , 為頂點(diǎn);

 、哿泓c(diǎn)式:  。

 、贫魏瘮(shù)問(wèn)題解決需考慮的因素:

 、匍_口方向;②對(duì)稱軸;③端點(diǎn)值;④與坐標(biāo)軸交點(diǎn);⑤判別式;⑥兩根符號(hào)。

  ⑶二次函數(shù)問(wèn)題解決方法:①數(shù)形結(jié)合;②分類討論。

  10.函數(shù)圖象

 、艌D象作法 :①描點(diǎn)法(注意三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖)②圖象變換法③導(dǎo)數(shù)法

  ⑵圖象變換:

 、    平移變換:ⅰ , ---左"+"右"-";

 、 ---上"+"下"-";

 、    伸縮變換:

  ⅰ , ( ---縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的 倍;

  ⅱ , ( ---橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的 倍;

 、    對(duì)稱變換:ⅰ   ;ⅱ   ;

 、    ; ⅳ   ;

 、    翻轉(zhuǎn)變換:

 、 ---右不動(dòng),右向左翻( 在 左側(cè)圖象去掉);

 、 ---上不動(dòng),下向上翻(| |在 下面無(wú)圖象);

  11.函數(shù)圖象(曲線)對(duì)稱性的證明

  (1)證明函數(shù) 圖像的對(duì)稱性,即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上;

 。2)證明函數(shù) 與 圖象的對(duì)稱性,即證明 圖象上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)在 的圖象上,反之亦然;

  注:①曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱曲線C2方程為:f(2a-x,2b-y)=0;

  ②曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于直線x=a的對(duì)稱曲線C2方程為:f(2a-x, y)=0;

 、矍C1:f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(或y=-x+a)的對(duì)稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

 、躥(a+x)=f(b-x) (x∈R) y=f(x)圖像關(guān)于直線x= 對(duì)稱;

  特別地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R) y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱;

  ⑤函數(shù)y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線x= 對(duì)稱;

  12.函數(shù)零點(diǎn)的求法:⑴直接法(求 的根);⑵圖象法;⑶二分法.

  13.導(dǎo)數(shù)

 、艑(dǎo)數(shù)定義:f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記作 ;

 、瞥R姾瘮(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:

 、  ;② ;③ ;

 、 ;⑤ ;⑥ ;⑦ ;⑧  。

  ⑶導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則:

 、龋ɡ砜疲⿵(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

  ⑸導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用:

 、倮脤(dǎo)數(shù)求切線:注意:ⅰ所給點(diǎn)是切點(diǎn)嗎?ⅱ所求的是"在"還是"過(guò)"該點(diǎn)的切線?

 、诶脤(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性:

 、 是增函數(shù);ⅱ 為減函數(shù);ⅲ  為常數(shù);

 、劾脤(dǎo)數(shù)求極值:ⅰ求導(dǎo)數(shù) ;ⅱ求方程 的根;ⅲ列表得極值。

 、芾脤(dǎo)數(shù)最大值與最小值:ⅰ求的極值;ⅱ求區(qū)間端點(diǎn)值(如果有);ⅲ得最值。

  14、不等式

  (1)均值不等式: 注意:①一正二定三相等;②變形,

 。2)不等式等證明(主要)方法:⑴比較法:作差或作比;⑵綜合法;⑶分析法。

 。3)一元二次不等式的解法:借鑒圖像先看開口,在看判別式,在解根,在討論根的大小以及與定義域的關(guān)系。

  二、考題再現(xiàn)

  08年江蘇高考

  8.直線 是曲線 的一條切線,則實(shí)數(shù)             。

  14. 對(duì)于 總有 成立,則 =             。

  20.若 , , 為常數(shù),函數(shù)f (x)定義為:對(duì)每個(gè)給定的實(shí)數(shù)x,

 。á瘢┣ 對(duì)所有實(shí)數(shù)x成立的充要條件(用 表示);

 。á颍┰O(shè) 為兩實(shí)數(shù),滿足 ,且 ∈ ,若 ,求證: 在區(qū)間 上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為 (閉區(qū)間 的長(zhǎng)度定義為 ).

  09年江蘇高考

  3.函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間為       .

  9.在平面直角坐標(biāo)系 中,點(diǎn)P在曲線 上,且在第二象限內(nèi),已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為      .

  10.已知 ,函數(shù) ,若實(shí)數(shù) 滿足 ,則 的大小關(guān)系為          .

  20.設(shè) 為 實(shí)數(shù),函數(shù) .

  (1)    若 ,求 的取值范圍;(2)求 的最小值;

 。3)    設(shè)函數(shù) ,直接寫出(不需給出演算步驟)不等式 的解集.

  10年江蘇高考

  5、設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex+ae-x)(x R)是偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a=___________ 。

  8、函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1,k為正整數(shù),a1=16,則a1+a3+a5=________

  11、已知函數(shù) ,則滿足不等式 的x的范圍是___     _。

  12、設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足3≤ ≤8,4≤ ≤9,則 的最大值是        。

  14、將邊長(zhǎng)為1m正三角形薄片,沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊,其中一塊是梯形,記 ,則S的最小值是__    。

  20、設(shè) 是定義在區(qū)間 上的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為 。如果存在實(shí)數(shù) 和函數(shù) ,其中 對(duì)任意的 都有 >0,使得 ,則稱函數(shù) 具有性質(zhì) 。

  (1)設(shè)函數(shù)  ,其中 為實(shí)數(shù)。(i)求證:函數(shù) 具有性質(zhì) ; (ii)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。

  (2)已知函數(shù) 具有性質(zhì) 。給定 設(shè) 為實(shí)數(shù), , ,且 ,若| |<| |,求 的取值范圍。

  11年江蘇高考

  8、在平面直角坐標(biāo)系 中,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù) 的圖象交于P、Q兩點(diǎn),則線段PQ長(zhǎng)的最小值是________

  12、在平面直角坐標(biāo)系 中,已知點(diǎn)P是函數(shù) 的圖象上的動(dòng)點(diǎn),該圖象在P處的切線 交y軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)P作 的垂線交y軸于點(diǎn)N,設(shè)線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t,則t的最大值是_____________

  11、已知實(shí)數(shù) ,函數(shù) ,若 ,則a的值為________

  8、在平面直角坐標(biāo)系 中,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù) 的圖象交于P、Q兩點(diǎn),則線段PQ長(zhǎng)的最小值是________

  19、已知a,b是實(shí)數(shù),函數(shù)   和 是 的導(dǎo)函數(shù),若 在區(qū)間I上恒成立,則稱 和 在區(qū)間I上單調(diào)性一致

 。1)設(shè) ,若函數(shù) 和 在區(qū)間 上單調(diào)性一致,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;

  (2)設(shè) 且 ,若函數(shù) 和 在以a, b為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致,求|a-b|的最大值。

  12年江蘇高考

  5.函數(shù) 的定義域?yàn)?nbsp;         .

  10.設(shè) 是定義在 上且周期為2的函數(shù),在區(qū)間 上, 其中 .

  若 ,則 的值為             .

  13.已知函數(shù) 的值域?yàn)?,若關(guān)于x的不等式 的解集為 ,則實(shí)數(shù)c的值為             .

  14.已知正數(shù) 滿足: 則 的取值范圍是       .

  18.若函數(shù) 在 處取得極大值或極小值,則稱 為函數(shù) 的極值點(diǎn)。

  已知 是實(shí)數(shù),1和 是函數(shù) 的兩個(gè)極值點(diǎn).

 。1)求 和 的值;   (2)設(shè)函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù) ,求 的極值點(diǎn);

 。3)設(shè) ,其中 ,求函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

  13年江蘇高考

  9.拋物線 在 處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)?(包含三角形內(nèi)部和邊界) .若點(diǎn) 是區(qū)域 內(nèi)的任意一點(diǎn),則 的取值范圍是       .

  11.已知 是定義在 上的奇函數(shù)。當(dāng) 時(shí), ,則不等式  的解集用區(qū)間表示為          .

  13.在平面直角坐標(biāo)系 中,設(shè)定點(diǎn) , 是函數(shù) ( )圖象上一動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn) 之間的最短距離為 ,則滿足條件的實(shí)數(shù) 的所有值為         .

  20.(本小題滿分16分)設(shè)函數(shù) , ,其中 為實(shí)數(shù).

  (1)若 在 上是單調(diào)減函數(shù),且 在 上有最小值,求 的取值范圍;

 。2)若 在 上是單調(diào)增函數(shù),試求 的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.

  14年江蘇高考

  1 0.已知函數(shù) ,若對(duì)任意 ,都有 成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是       .

  11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若曲線 ( 為常數(shù))過(guò)點(diǎn) ,且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線 平行,則 的值是            .

  13.已知 是定義在R上且周期為3的函數(shù),當(dāng) 時(shí), .若函數(shù) 在區(qū)間 上有10個(gè)零點(diǎn)(互不相同),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是            .

  19.(本小題滿分1 6分)已知函數(shù) 其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

 。1)證明: 是 上的偶函數(shù);

  (2)若關(guān)于x的不等式 在 上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

  (3)已知正數(shù)a滿足:存在 ,使得 成立.試比較 與 的大小,并證明你的結(jié)論.

  15年江蘇高考

  7、不等式 的解集為________.

  13、已知函數(shù) , ,則方程 實(shí)根的個(gè)數(shù)為          .

  所以 ,所以直線AB方程為 或 .

  17.(本小題滿分16分)

  已知函數(shù) .

 。1)試討論 的單調(diào)性;

 。2)若 (實(shí)數(shù)c是a與無(wú)關(guān)的常數(shù)),當(dāng)函數(shù) 有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍恰好是 ,求c的值.

  16年江蘇高考

  5. 函數(shù)y= 的定義域是         .

  11. 設(shè)  是定義在R上且周期為2的函數(shù),在區(qū)間[ )上,  其中  若  ,則 的值是          .

  19. (本小題滿分16分)

  已知函數(shù) .

 。1)設(shè) .①求方程 =2的根;

  ②若對(duì)任意 ,不等式 恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值;

 。2)若 ,函數(shù) 有且只有1個(gè)零點(diǎn),求ab的值.

  三 、考題預(yù)測(cè)

  1、已知集合 為函數(shù) 的定義域.,函數(shù) 的定義域?yàn)镼,

  如果 ,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為            。

  2、已知函數(shù) . 如果 ,則實(shí)數(shù) 等于_________。

  3、已知函數(shù)f(x)=ax+ka-x,其中a>0且a≠1,k為常數(shù),若f(x)在R上既是奇函數(shù),又是減函數(shù),則a+k的取值范圍是               。

  4、(1)已知函數(shù)f(x)=x2-m是定義在區(qū)間[-3-m,m2-m]上的奇函數(shù),則f(m)=______________。

 。2)冪函數(shù)y=xa,當(dāng)a取不同的正數(shù)時(shí),在區(qū)間[0,1]上它們的圖象是一族美麗的曲

  線(如圖).設(shè)點(diǎn)A(1,0),B(0,1),連接AB,線段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)y=xα,y=xβ

  的圖象三等分,即有|BM|=|MN|=|NA|.那么,αβ=_________。

  5、已知函數(shù)f(x)= 為奇函數(shù),f(1)<f(3),且不等式0≤f(x)≤ 的解集為[﹣2,﹣1]∪[2,4],則f(x)=_____________。
 

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