2025年高考數(shù)學(xué)等價矩陣的秩相等嗎
來源:網(wǎng)絡(luò)整理 2024-11-13 15:51:16
相等。在線性代數(shù)和矩陣論中,有兩個m×n階矩陣A和B,如果這兩個矩陣滿足B=QAP(P是n×n階可逆矩陣,Q是m×m階可逆矩陣),那么這兩個矩陣之間是等價關(guān)系。也就是說,存在可逆矩陣(P、Q),使得A經(jīng)過有限次的初等變換得到B。
1等價矩陣性質(zhì)
矩陣A和A等價(反身性);
矩陣A和B等價,那么B和A也等價(等價性);
矩陣A和B等價,矩陣B和C等價,那么A和C等價(傳遞性);
矩陣A和B等價,那么IAI=KIBI。(K為非零常數(shù))
具有行等價關(guān)系的矩陣所對應(yīng)的線性方程組有相同的解對于相同大小的兩個矩形矩陣,它們的等價性也可以通過以下條件來表征:
。1)矩陣可以通過基本行和列操作的而彼此變換。
(2)當(dāng)且僅當(dāng)它們具有相同的秩時,兩個矩陣是等價的。
2矩陣的秩
矩陣的秩是線性代數(shù)中的一個概念。在線性代數(shù)中,一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數(shù),通常表示為r(A),rk(A)或rank A。
在線性代數(shù)中,一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數(shù)目。類似地,行秩是A的線性無關(guān)的橫行的極大數(shù)目。即如果把矩陣看成一個個行向量或者列向量,秩就是這些行向量或者列向量的秩,也就是極大無關(guān)組中所含向量的個數(shù)。
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