高三數(shù)學(xué)平面向量考點解析

　　1、 高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)平面向量的概念：平面向量是既有大小又有方向的量。向量和數(shù)量是數(shù)學(xué)中討論的兩種量的形式，數(shù)量是實數(shù)。

　　2、  平面向量的三種形式：

　　（1）字母形式：用單獨的小寫字母帶箭頭或者用兩個大寫字母帶箭頭表示向量；

　�。�2）幾何形式；用平面內(nèi)的有向線段表示向量，零向量是一個點；

　�。�3）坐標(biāo)形式：向量可以在坐標(biāo)平面內(nèi)用坐標(biāo)表示，向量坐標(biāo)等于它的終點坐標(biāo)減去始點坐標(biāo)。

　　3、平面向量的相關(guān)概念，

　�。�1）模（絕對值）：向量的大小或者向量的長度叫做向量的模，模是大于等于的實數(shù)。模也叫作絕對值、大小、長度，這幾個說法是一個意思。

　�。�2）相等向量：方向相同、大小相等的向量叫做相等向量（或者叫相同向量），兩個相等向量的x，y坐標(biāo)對應(yīng)相等。

　�。�3）相反向量：方向相反、大小相等的向量叫做相反向量。一個向量加負號即變?yōu)槠湎喾聪蛄�，在向量化簡和運算中很常見、很重要。

　�。�4）平行（共線）向量：平面內(nèi)兩個向量所在的直線平行或者重合，則說這兩個向量平行（或者共線），用平行符號表示。因為向量可以自由平移，所以對向量來講平行和共線是一個意思。兩個非零向量平行時，必定方向相同或相反。規(guī)定零向量和任意向量都平行，但不能說零向量和其它向量方向相同或相反。

　�。�5）垂直向量：兩向量所在的直線垂直（或者說夾角為90度），則說這兩個向量為垂直向量，用垂直符號表示。規(guī)定零向量和任意向量都垂直，但不能說夾角90度。

　�。�6）零向量：大小為零（或者說模、絕對值、長度為零都是一個意思）的向量叫做零向量，規(guī)定零向量的方向是任意的，不能討論零向量和其它向量方向的關(guān)系及夾角問題。規(guī)定零向量和任意向量都平行且垂直。

　�。�7）單位向量：長度為1的向量叫做單位向量。一個向量除以自己的模得到和這個向量同方向的單位向量；單位向量乘以一個向量的模得到這個向量。

　�。�8）位置向量：向量AB可以表示點B相對點A的位置，所以向量AB可以叫做點B關(guān)于點A的位置向量。

　�。�9）方向向量：一個非零向量與一條直線平行，則這個向量叫做這條直線的平行向量。一條直線的方向向量有無數(shù)多個。方向向量能體現(xiàn)直線的方向，作用和直線的斜率相同，方向向量的坐標(biāo)和斜率可以相互轉(zhuǎn)化。記住如下結(jié)論：若已知直線的斜率為K，則（1，K）為直線的一個方向向量；若（m，n）是直線的一個方向向量，則直線的斜率為n/m。

　�。�10）平移向量：平面內(nèi)的點或者圖像按照某一個向量平移的意思是：按照向量的方向，平移向量的長度。具體在平移的時候，是分解為水平方向和豎直方向兩步平移的。平移向量坐標(biāo)為正就移向軸的正方向，坐標(biāo)為負就移向軸的負方向。點平移后的坐標(biāo)是原坐標(biāo)的x，y加上平移向量的坐標(biāo)；圖像平移后的方程是原方程中的x，y減去平移向量的坐標(biāo)。

　　4、平面向量的線性運算

　�。�1）向量的加法滿足三角形，平行四邊形和多邊形法則。用加法的三角形法則和多邊形法則時要保證向量之間首尾相接，然后從第一個向量的始點指向最后一個向量的終點得到的向量就是和向量。多邊形法則是三角形法則的拓展，關(guān)鍵都是向量要首尾相接。坐標(biāo)形式相加是橫縱坐標(biāo)分別相加。

　　（2）向量的減法滿足三角形法則。用減法的三角形法則時要保證兩個向量始點重合，從減數(shù)向量的終點指向被減數(shù)向量的終點得到的向量就是差向量。在兩向量共線時，加減法的三角形法則都成立。坐標(biāo)形式相減是橫縱坐標(biāo)分別相減。

　　（3）向量的數(shù)乘運算是實數(shù)和向量相乘，乘法符號是點。數(shù)乘運算的效果是向量長度的伸縮和方向的改變，要分實數(shù)大于0、小于0、等于0三種情況討論。乘完之后的向量和原向量一定共線。坐標(biāo)形式的數(shù)乘是實數(shù)與橫縱坐標(biāo)都相乘。

　　5、平面向量的兩個重要定理：

　�。�1）共線向量定理：向量b不是零向量時，“向量a等于一個實數(shù)乘以向量b”等價于“向量a與向量b共線，且實數(shù)系數(shù)唯一”。注意：向量b若可能是零向量時，等價關(guān)系不成立，但是若已知兩向量滿足數(shù)乘關(guān)系可以推出兩向量平行。當(dāng)兩個向量是用基向量表示時，兩向量平行則基向量的系數(shù)對應(yīng)成比例；當(dāng)兩個向量是坐標(biāo)形式時，這個定理對任意向量（包括零向量）都等價，即：“兩向量平行”等價于“坐標(biāo)的內(nèi)積等于外積”。

　�。�2）三點共線：三點共線問題就是向量共線的問題，等價于兩種向量的形式，哪一種好用就用哪一種。一、等價于用三個點任意構(gòu)造兩個向量，兩個向量滿足數(shù)乘關(guān)系（或坐標(biāo)滿足內(nèi)積等于外積），建立等式；二、等價于以第四個點為公共始點，三個點為終點構(gòu)造三個向量，其中一個向量用另兩個向量線性表示，系數(shù)之和為1。還要注意三角形中的中線向量定理，還有重心向量的形式，還有中點坐標(biāo)公式和重心坐標(biāo)公式，中線和重心是三角形中重要的量。

　�。�3）平面向量基本定理：平面內(nèi)任意的兩個不共線向量都可以做平面內(nèi)的一組基向量，平面內(nèi)的任意向量都可以由這一組基向量線性表示，且基向量的系數(shù)唯一。利用這個系數(shù)唯一求向量的系數(shù)是求系數(shù)問題的重要方法。

　　6、平面向量的數(shù)量積

　�。�1）兩向量的夾角：兩向量始點重合或者終點重合時所成的0度到180度之間的角為兩向量的夾角；兩向量首尾相接時要找補角才是向量的夾角！兩向量的夾角用尖括號表示。

　�。�2）數(shù)量積的字母形式：兩向量相乘等于兩向量的模的乘積再乘以夾角的余弦，乘法的結(jié)果是一個數(shù)量，所以這個乘法叫做數(shù)量積。乘法的符號是點。

　�。�3）數(shù)量積的幾何形式：一個向量的長度乘以另一個向量在第一個向量方向上的射影的數(shù)量。射影是一個一維向量，它的數(shù)量也叫作它的坐標(biāo)，有兩種計算形式哦：）

　�。�4）數(shù)量積的運算律：滿足交換律和分配律，不滿足結(jié)合律和消去律。（當(dāng)多個實數(shù)和兩個向量做乘法運算時結(jié)合律成立，三個以上的向量相乘不滿足結(jié)合律，但是碰巧的某個結(jié)合也成立的可能）

　　（5）數(shù)量積的運算性質(zhì)：兩向量垂直等價于數(shù)量積為零；向量的長度等于向量平方再開方；兩向量的夾角的余弦等于兩向量的數(shù)量積除以模的乘積。兩向量模的乘積大于等于數(shù)量積的模（等號成立的條件時至少一個向量為零向量或者兩個非零向量共線）可以對比如下結(jié)論：兩向量和差的模大于等于兩向量模的差，小于等于兩向量模的和，這里等號成立的條件時至少一個向量為零向量或者兩向量同向反向其中之一（大家自己畫圖分析：））

　　7、向量問題的難點：

　�。�1）向量字母形式的化簡和變形，分解和合成向量是難點。在向量比較多的時候要考慮找一組不共線向量做基向量表示其它向量，把向量的形式都統(tǒng)一成基向量（基向量最好是找長度和夾角都知道的兩個不共線向量，便于計算。一般是在平面圖形中找兩個相鄰的邊向量做基向量）。

　�。�2）向量的表示和運算都有三種形式：字母形式，幾何形式，坐標(biāo)形式，選擇好正確的形式解題會化難為易。一般的思路是能畫圖的先畫圖，使用向量的幾何形式分析，看不出來的可以考慮建坐標(biāo)系用坐標(biāo)形式計算，再不行的用字母形式化簡計算。能通過圖形觀察解決的是最方便和準(zhǔn)確，需要計算的話坐標(biāo)形式最好用，字母形式是比較抽象的。不過有的題給出比較熟悉的字母形式的條件，那就直接化簡好了，一般來講最后都是能化簡為兩個向量的數(shù)乘關(guān)系或者數(shù)量積為零的形式！還要注意三種形式的綜合使用。

　�。�3）注意向量和三角、解析幾何、平面幾何的結(jié)合。在向量條件里出現(xiàn)三角函數(shù)的形式時，往往涉及到三角函數(shù)公式的應(yīng)用；向量坐標(biāo)形式有時會用到解析幾何的公式和結(jié)論；平面圖形中的向量問題也可能用到初中平面幾何的定理推論。