高三數(shù)學(xué)解析幾何考點(diǎn)解析

　　高中數(shù)學(xué)幾何題解題技巧我們先來分析一下解析幾何高考的命題趨勢：

　　(1)題型穩(wěn)定：近幾年來高考解析幾何試題一直穩(wěn)定在三(或二)個(gè)選擇題，一個(gè)填空題，一個(gè)解答題上，占總分值的20%左右。

　　(2)整體平衡，重點(diǎn)突出：其中對直線、圓、圓錐曲線知識的考查幾乎沒有遺漏，通過對知識的重新組合，考查時(shí)既留意全面，更留意突出重點(diǎn)，對支撐數(shù)學(xué)科知識體系的主干知識，考查時(shí)保證較高的比例并保持必要深度。近幾年新教材高考對解析幾何內(nèi)容的考查主要集中在如下幾個(gè)類型：

　�、� 求曲線方程(類型確定、類型未定)；

　�、谥本�與圓錐曲線的交點(diǎn)題目(含切線題目)；

　�、叟c曲線有關(guān)的最(極)值題目；

　�、芘c曲線有關(guān)的幾何證實(shí)(對稱性或求對稱曲線、平行、垂直)；

　�、萏角笄�線方程中幾何量及參數(shù)間的數(shù)目特征；

　　(3)能力立意，滲透數(shù)學(xué)思想：一些雖是常見的基本題型，但假如借助于數(shù)形結(jié)合的思想，就能快速正確的得到答案。

　　(4)題型新奇，位置不定：近幾年解析幾何試題的難度有所下降，選擇題、填空題均屬易中等題，且解答題未必處于壓軸題的位置，計(jì)算量減少，思考量增大。加大與相關(guān)知識的聯(lián)系(如向量、函數(shù)、方程、不等式等)，凸現(xiàn)教材中研究性學(xué)習(xí)的能力要求。加大探索性題型的分量。

　　在近年高考中，對直線與圓內(nèi)容的考查主要分兩部分：

　　(1)以選擇題題型考查本章的基本概念和性質(zhì)，此類題一般難度不大，但每年必考，考查內(nèi)容主要有以下幾類：

　�、倥c本章概念(傾斜角、斜率、夾角、間隔、平行與垂直、線性規(guī)劃等)有關(guān)的題目；

　�、趯ΠV光目(包括關(guān)于點(diǎn)對稱，關(guān)于直線對稱)要熟記解法；

　�、叟c圓的位置有關(guān)的題目，其常規(guī)方法是研究圓心到直線的間隔.

　　以及其他“標(biāo)準(zhǔn)件”類型的基礎(chǔ)題。

　　(2)以解答題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，此類題綜合性比較強(qiáng)，難度也較大。

　　預(yù)計(jì)在今后一、二年內(nèi)，高考對本章的考查會保持相對穩(wěn)定，即在題型、題量、難度、重點(diǎn)考查內(nèi)容等方面不會有太大的變化。

　　相比較而言，圓錐曲線內(nèi)容是平面解析幾何的核心內(nèi)容，因而是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，在每年的高考試卷中一般有2～3道客觀題和一道解答題，難度上易、中、難三檔題都有，主要考查的內(nèi)容是圓錐曲線的概念和性質(zhì)，直線與圓錐的位置關(guān)系等，從近十年高考試題看大致有以下三類：

　　(1)考查圓錐曲線的概念與性質(zhì)；

　　(2)求曲線方程和求軌跡；

　　(3)關(guān)于直線與圓及圓錐曲線的位置關(guān)系的題目.

　　選擇題主要以橢圓、雙曲線為考查對象，填空題以拋物線為考查對象，解答題以考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為主，對于求曲線方程和求軌跡的題，高考一般不給出圖形，以考查學(xué)生的想象能力、分析題目的能力，從而體現(xiàn)解析幾何的基本思想和方法，圓一般不單獨(dú)考查，總是與直線、圓錐曲線相結(jié)合的綜合型考題，等軸雙曲線基本不出題，坐標(biāo)軸平移或平移化簡方程一般不出解答題，大多是以選擇題形式出現(xiàn).解析幾何的解答題一般為困難，近兩年都考查了解析幾何的基本方法——坐標(biāo)法以及二次曲線性質(zhì)的運(yùn)用的命題趨向要引起我們的重視.

　　請同學(xué)們留意圓錐曲線的定義在解題中的應(yīng)用，留意解析幾何所研究的題目背景平面幾何的一些性質(zhì).從近兩年的試題看，解析幾何題有前移的趨勢，這就要求考生在基本概念、基本方法、基本技能上多下功夫.參數(shù)方程是研究曲線的輔助工具.高考試題中，涉及較多的是參數(shù)方程與普通方程互化及等價(jià)變換的數(shù)學(xué)思想方法。

　　考查的重點(diǎn)要落在軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，往往是通過直線與圓錐曲線方程的聯(lián)立、消元，借助于韋達(dá)定理代人、向量搭橋建立等量關(guān)系�？疾轭}型涉及的知識點(diǎn)題目有求曲線方程題目、參數(shù)的取值范圍題目、最值題目、定值題目、直線過定點(diǎn)題目、對癡光目等，所以我們要把握這些題目的基本解法。

　　命題特別留意對思維嚴(yán)密性的考查，解題時(shí)需要留意考慮以下幾個(gè)題目：

　　1、設(shè)曲線方程時(shí)看清焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上；留意方程待定形式及參數(shù)方程的使用。

　　2、直線的斜率存在與不存在、斜率為零，相交題目留意“D”的影響等。

　　3、命題結(jié)論給出的方式：搞清題目所給的幾個(gè)小題是并列關(guān)系還是遞進(jìn)關(guān)系。假如前后小題各自有強(qiáng)化條件，則為并列關(guān)系，前面小題結(jié)論后面小題不能用；不過考題經(jīng)常給出的是遞進(jìn)關(guān)系，有(1)、第一問求曲線方程、第二問討論直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，(2)第一問求離心率、第二問結(jié)合圓錐曲線性質(zhì)求曲線方程，(3)探索型題目等。解題時(shí)要根據(jù)不同情況考慮施加不同的解答技巧。

　　4、題目條件如與向量知識結(jié)合，也要留意向量的給出形式：

　　(1)、直接反映圖形位置關(guān)系和性質(zhì)的，如？=0，=( )，λ，以及過三角形“四心”的向量表達(dá)式等；

　　(2)、=λ：假如已知M的坐標(biāo)，按向量展開；假如未知M的坐標(biāo)，按定比分點(diǎn)公式代進(jìn)表示M點(diǎn)坐標(biāo)。

　　(3)、若題目條件由多個(gè)向量表達(dá)式給出，則考慮其圖形特征(數(shù)形結(jié)合)。

　　5、考慮圓錐曲線的第一定義、第二定義的區(qū)別使用，留意圓錐曲線的性質(zhì)的應(yīng)用。

　　6、留意數(shù)形結(jié)合，特別留意圖形反映的平面幾何性質(zhì)。

　　7、解析幾何題的另一個(gè)考查的重點(diǎn)就是學(xué)生的基本運(yùn)算能力，所以解析幾何考題學(xué)生普遍感覺較難對付。為此我們有必要在平常的解題變形的過程中，發(fā)現(xiàn)積累一些式子的常用變形技巧，如假分式的分離技巧，對癡規(guī)換的技巧，構(gòu)造對稱式用韋達(dá)定理代進(jìn)的技巧，構(gòu)造均值不等式的變形技巧等，以便提升解題速度。

　　8、平面解析幾何與平面向量都具有數(shù)與形結(jié)合的特征，所以這兩者多有結(jié)合，在它們的知識點(diǎn)交匯處命題，也是高考命題的一大亮點(diǎn).直線與圓錐曲線的位置關(guān)系題目是常考常新、經(jīng)久不衰的一個(gè)考查重點(diǎn)，另外，圓錐曲線中參數(shù)的取值范圍題目、最值題目、定值題目、對癡光目等綜合性題目也是高考的�？碱}型.解析幾何題一般來說計(jì)算量較大且有一定的技巧性，需要“精打細(xì)算”，近幾年解析幾何題目的難度有所降低，但還是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的題目，對考生的意志品質(zhì)和數(shù)學(xué)機(jī)智都是一種考驗(yàn)，是高考試題中區(qū)分度較大的一個(gè)題目，有可能作為今年高考的一個(gè)壓軸題出現(xiàn).

　　知識梳理：

　　●求曲線方程或點(diǎn)的軌跡

　　求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本題目之一，是高考中的一個(gè)熱門和重點(diǎn)，在歷年高考中出現(xiàn)的頻率較高，特別是當(dāng)今高考的改革以考查學(xué)生的創(chuàng)新意識為突破口，注重考查學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算能力、分析題目和解決題目的能力，而軌跡方程這一熱門，則能很好地反映學(xué)生在這些方面能力的把握程度。

　　高中數(shù)學(xué)幾何題解題技巧下面先容幾種常用的方法

　　(1) 直接法：動點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系，我們只需把這種關(guān)系“翻譯”成含x、粉底液哪個(gè)牌子好y的等式就得到曲線軌跡方程。

　　(2) 定義法：其動點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡的定義，則可根據(jù)定義直接求出動點(diǎn)的軌跡方程。

　　(3) 幾何法：若所求的軌跡滿足某些幾何性質(zhì)(如線段中垂線、角平分線性質(zhì)等)，可以用幾何法，列出幾何式，再代進(jìn)點(diǎn)的坐標(biāo)較簡單。

　　(4) 相關(guān)點(diǎn)法(代進(jìn)法)：有些題目中，某動點(diǎn)滿足的條件不便用等式列出，但動點(diǎn)是隨著另一動點(diǎn)(稱為相關(guān)點(diǎn))而運(yùn)動的，假如相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件是明顯的，這時(shí)我們可以用動點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，再把相關(guān)點(diǎn)代進(jìn)其所滿足的方程，即可求得動點(diǎn)的軌跡方程。

　　(5) 參數(shù)法：有時(shí)求動點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現(xiàn)這個(gè)動點(diǎn)的運(yùn)動經(jīng)常受到另一個(gè)變量(角度、斜率、比值、截距)等的制約，即動點(diǎn)坐標(biāo)(x、y)中的x、y分別隨另一變量的變化而變化，我們可稱這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法。消往參數(shù)，即可得到軌跡普通方程。選定參變量要特別留意它的取值范圍對動點(diǎn)坐標(biāo)取值范圍的影響。

　　(6) 交軌法：在求動點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會出現(xiàn)要求兩動曲線交點(diǎn)的軌跡題目，這類題目常通過解方程組得出交點(diǎn)(含參數(shù))的坐標(biāo)，再消往參數(shù)求出所求軌跡方程，該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。

　　●求參數(shù)范圍題目

　　在解析幾何題目中，常用到參數(shù)來刻劃點(diǎn)和曲線的運(yùn)動和變化，對于參變量范圍的討論，則需要用到變與不變的相互轉(zhuǎn)化，需要用函數(shù)和變量往思考，因此要用函數(shù)和方程的思想作指導(dǎo)，利用已知變量的取值范圍以及方程的根的狀況求出參數(shù)的取值范圍。

　　例1、已知橢圓C： 試確定m的范圍，使得對于直線l： y = 4x+m 橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線 l 對稱。

　　例2、已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為A(1，0)，點(diǎn)P、Q在雙曲線的右支上，點(diǎn)M (m ， 0 ) 到直線AP的間隔為1，

　　(1)若直線AP的斜率為k ，且 ，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍

　　(2)當(dāng) 時(shí)，ΔAPQ的內(nèi)心恰好是點(diǎn)M，求此雙曲線的方程

　　●值域和最值題目

　　與解析幾何有關(guān)的函數(shù)的值域或弦長、面積等的最大值、最小值題目是解析幾何與函數(shù)的綜合題目，需要以函數(shù)為工具來處理。

　　解析幾何中的最值題目，一般是根據(jù)條件列出所求目標(biāo)――函數(shù)的關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法，應(yīng)用不等式的性質(zhì)，以及三角函數(shù)最值法等求出它的最大值或最小值。另外，還可借助圖形，利用數(shù)形結(jié)正當(dāng)求最值。

　　例1、如圖，已知拋物線 y2 = 4x 的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A 的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為π/4的直線 l 與線段OA相交(不過O點(diǎn)或A點(diǎn))，且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求△AMN面積最大時(shí)直線的方程，并求△AMN的最大面積。

　　●直線與圓錐曲線關(guān)系題目

　　1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系題目，從代數(shù)角度轉(zhuǎn)化為一個(gè)方程組實(shí)解個(gè)數(shù)研究(如能數(shù)形結(jié)合，可借助圖形的幾何性質(zhì)則較為簡便)。即判定直線與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，可將直線方程帶進(jìn)曲線C的方程，消往y(有時(shí)消往x更方便)，得到一個(gè)關(guān)于x的一元方程 ax2 + bx + c = 0

　　當(dāng)a=0時(shí)，這是一個(gè)一次方程，若方程有解，則 l 與C相交，此時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn)。若C為雙曲線，則 l 平行與雙曲線的漸進(jìn)線；若C為拋物線，則 l 平行與拋物線的對稱軸。所以當(dāng)直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線和雙曲線、拋物線可能相交，也可能相切。

　　當(dāng) a≠0 時(shí)，若Δ>0 l與C相交

　　Δ=0 l與C相切

　　Δ<0 l與C相離

　　2、涉及圓錐曲線的弦長，一般用弦長公式結(jié)合韋達(dá)定理求解。

　　解決弦中點(diǎn)有兩種常用辦法：一是利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式；二是利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系(點(diǎn)差法)

　　中點(diǎn)弦題目就是當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)，得到一條顯冬進(jìn)一步研究弦的中點(diǎn)的題目. 中點(diǎn)弦題目是解析幾何中的重點(diǎn)和熱門題目，在高考試題中經(jīng)常出現(xiàn). 解決圓錐曲線的中點(diǎn)弦題目，“點(diǎn)差法”是一個(gè)行之有效的方法，“點(diǎn)差法”顧名思義是代點(diǎn)作差的辦法. 其步驟可扼要地?cái)⑹鰹椋孩僭O(shè)出弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)；②將端點(diǎn)的坐標(biāo)代進(jìn)圓錐曲線方程相減；③得到弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與所在直線的斜率的關(guān)系，從而求出直線的方程；④ 作簡要的檢驗(yàn). 本文試圖通過對一道高考試題解法的探討，談點(diǎn)個(gè)人見解.