高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)集合大小定義的基本要求

　　作為集合大小的定義，應(yīng)該滿足什么樣的基本要求?下文是集合大小定義的基本要求，希望可以幫助到同學(xué)們。

　　首先，一個集合的大小只應(yīng)該取決于這個集合本身。

　　我們知道一個集合可以用多種方法來構(gòu)造和表示，比如說，

　　A={小于等于2的正整數(shù)｝

　　B={1,2｝

　　C={x2-3x+2=0的根｝

　　其實都是同一個集合，

　　D={n|n為自然數(shù)，且方程xn+yn=zn有xyz≠0的整數(shù)解｝

　　又怎么樣呢?1996年英國數(shù)學(xué)家懷爾斯證明了費爾馬大定理，所以集合D和上面的集合A、B、C是同一個集合，它里面有兩個元素1和2。我們記得，一個集合由它所含的元素唯一決定，所以它的大小也不能取決于它被表示的方法，或者被構(gòu)造的途徑，它只應(yīng)該取決于它本身。

　　一個集合得和自己一樣大，這個沒有什么好說的;

　　其次，如果集合A不小于(也就是說或者大于，或者一樣大)集合B，而集合B也不小于集合A，那么它們就必須是一樣大的;

　　第三，如果集合A不小于集合B，而集合B又不小于集合C，那么集合A就必須不小于集合C。在數(shù)學(xué)上，我們稱滿足這三個條件的關(guān)系為“偏序關(guān)系”(注：嚴(yán)格地說，這個偏序關(guān)系并不定義在集合之間，而是定義在集合按“一樣大”這個等價關(guān)系定義出的等價類之間，關(guān)于偏序關(guān)系的嚴(yán)格定義的敘述和上面所說的也有區(qū)別，但這些問題在這里并不要緊，你如果看不懂這個注在講什么也不要緊)。如果一個關(guān)于集合大小的定義違反了上面所說的三條之一，這個定義的怪異程度一定會超過上面使用一一對應(yīng)原則的定義!

　　舉個例子，比如說我對某位科幻小說作家的喜愛程度就是一個偏序關(guān)系。如果我喜歡阿西莫夫勝于喜歡凡爾納，而喜歡凡爾納又勝于喜歡克拉克，那在阿西莫夫和克拉克中，我一定更喜歡阿西莫夫。不過一個偏序關(guān)系并不要求任意兩個對象都能相互比較。比如說劉慈欣的水平當(dāng)然不能和克拉克這樣的世界級科幻大師比，但是“喜歡”是一種很個人的事情，作為一個中國人，我對中國的科幻創(chuàng)作更感興趣——所以似乎不能說我更喜歡克拉克，但也不能說我更喜歡劉慈欣，而且也不能說同樣喜歡，因為喜歡的地方不一樣——所以更確切地也許應(yīng)該說，他們倆之間不能比較。但偏序關(guān)系中存在這樣的可能性，有一個對象可以和兩個不能相互比較的對象中的每一個相比較，比方說我喜歡阿西莫夫勝過劉慈欣和克拉克中的任一個。

　　不過作為集合大小的定義，我們希望能夠比較任意兩個集合的大小。所以，對于任何給定的兩個集合A和B，或者A比B大，或者B比A大，或者一樣大，這三種情況必須有一種正確而且只能有一種正確。這樣的偏序關(guān)系被稱為“全序關(guān)系”。

　　最后，新的定義必須保持原來有限集合間的大小關(guān)系。有限集合間的大小關(guān)系是很清楚的，所謂的“大”，也就是集合中的元素更多，有五個元素的集合要比有四個元素的集合大，在新的擴充了的集合定義中也必須如此。這個要求是理所當(dāng)然的，否則我們沒有理由將新的定義作為老定義的擴充。

　　“整體大于部分”原則的困難和一一對應(yīng)原則的優(yōu)點

　　滿足上面幾條要求的定義，最簡單的就是認(rèn)為無限就只有一種，所有的無限集合都一樣大，而它們都大于有限集合。這其實是康托爾創(chuàng)立集合論以前數(shù)學(xué)家的看法，所以康托爾把無限分成許多類的革命性做法使得數(shù)學(xué)家們大吃了一驚。但是這樣的定義未免太粗糙了一點，只不過是把“無限集合比有限集合大”換了種方法說罷了，我們看不出這有什么用處。沒有用的定義不要也罷——再說在這種定義中，自然數(shù)和正偶數(shù)也一樣多，因為所對應(yīng)的集合都是無限集合。