高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)集合大小定義的基本要求(2)

　　如果我們在上面幾條要求中，再加上“整體大于部分”這條要求會怎么樣呢?

　　我們想像平面上有條射線，射線的一端是原點(diǎn)，然后在上面我們每隔一厘米畫一個(gè)點(diǎn)，并在每個(gè)點(diǎn)旁邊標(biāo)上1、2、3……等，這樣就有無窮個(gè)點(diǎn)。那么這個(gè)點(diǎn)集和自然數(shù)集合比較大小的結(jié)果應(yīng)該如何?按照我們前面的要求，任何兩個(gè)集合都應(yīng)該可以比較大小的。我們很容易想像到，這其實(shí)是一條數(shù)軸的正半軸，上面的點(diǎn)就是代表自然數(shù)的那些點(diǎn)，所以這些點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)該和自然數(shù)的個(gè)數(shù)相同。而且，按照“整體大于部分”的規(guī)定，那些標(biāo)有10、20、30……的點(diǎn)的集合比所有點(diǎn)的集合要小。但是“一厘米”實(shí)在是非常人為的規(guī)定，如果我們一開始就每隔一分米畫一個(gè)點(diǎn)，順著上面的思路，這些點(diǎn)的個(gè)數(shù)也該和自然數(shù)一樣多，但是這恰好是按一厘米間隔畫點(diǎn)時(shí)標(biāo)有10、20、30……的點(diǎn)啊!那些點(diǎn)始終是一樣的，所以它們的個(gè)數(shù)不應(yīng)該取決于在它們的旁邊標(biāo)記的是“1、2、3……”還是“10、20、30……”。

　　再舉一個(gè)例子。假設(shè)我給你一個(gè)大口袋，里面有無限多個(gè)小口袋，上面按照自然數(shù)標(biāo)了號1、2、3……。在1號口袋中有1粒豆子，2號口袋中有2粒豆子，……依次類推。現(xiàn)在我當(dāng)著你的面拿掉1號小口袋，那么剩下的小口袋數(shù)和原來的相比如何?如果按照“整體大于部分”的觀點(diǎn)，應(yīng)該是少了，少一條。但是如果我當(dāng)初就背著你拿掉1號口袋，然后從其他每個(gè)小口袋中取出一粒豆子，再把小口袋上的號碼改掉，2改成1，3改成2……，然后再把大口袋給你，你顯然不會知道我做了手腳，因?yàn)檫@時(shí)大口袋里的東西和原來沒有任何區(qū)別，所以小口袋的數(shù)量和原來一樣多。這就和“少一條”矛盾了，從小口袋里拿一粒豆子或者是涂改上面的標(biāo)號不應(yīng)該改變口袋的數(shù)量。大家明白我是打了一個(gè)比方，大口袋就是一個(gè)集合。按照上面的要求，集合的大小只應(yīng)該取決于集合本身，而不應(yīng)該取決于集合的表示方法或構(gòu)造方法，也就是得到集合的過程。你拿到了大口袋，也就是就應(yīng)該知道里面小口袋的數(shù)量，而不用知道我是否做過手腳。

　　這樣的例子可以舉很多。我們發(fā)現(xiàn)，如果堅(jiān)持“整體大于部分”的話，固然可以使得某些集合和自己的子集相比較時(shí)，比如比較自然數(shù)和正偶數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，符合“直觀”和“常識”。但是更多的非常直觀的東西和常識卻都會變成錯(cuò)誤的。比如說，x'=x+1這樣一個(gè)數(shù)軸上的坐標(biāo)平移，會將坐標(biāo)上的點(diǎn)集{1,2,3……｝變?yōu)閧2,3,4……｝，一個(gè)坐標(biāo)平移居然可以變動點(diǎn)集中元素的個(gè)數(shù)!“元素可以一一對應(yīng)的兩個(gè)集合大小相同”這條原理的失效，會使得我們在比較兩個(gè)元素很不相同的集合時(shí)無所適從：怎樣不使用一一對應(yīng)的方法來比較自然數(shù)和數(shù)軸上(0,1)區(qū)間中點(diǎn)的個(gè)數(shù)?

　　在上面的兩個(gè)例子中我們會有這樣的感覺，對于無限集合來說，從部分中似乎可以“產(chǎn)生”出整體來。比如射線上的每隔一厘米畫一個(gè)點(diǎn)的例子，如果我們把不是10的倍數(shù)的點(diǎn)去掉，然后將平面“收縮”到原來尺度的十分之一，我們就重新得到了原來的那個(gè)點(diǎn)集。在裝豆子的口袋的例子中，只要從去掉1號口袋后剩下的那些袋子中拿去一粒豆子，我們就又得到了原來的那個(gè)大口袋。這暗示了無限集合的一個(gè)重要特點(diǎn)：從某種意義上來說，它和自己的一部分相似。事實(shí)上，無限集合的一個(gè)定義就是“能和自己的一部分一一對應(yīng)的集合”。所以在無限集合大小的比較中，違反了“整體大于部分”的原則并不奇怪，因?yàn)檫@恰好就是無限集合的特征。