高三數(shù)學教案：《簡單的線性規(guī)劃》教學設計

　　本文題目：高三數(shù)學教案：簡單的線性規(guī)劃

　　●知識梳理

　　1.二元一次不等式表示平面區(qū)域

　　在平面直角坐標系中，已知直線Ax+By+C=0，坐標平面內(nèi)的點P(x0，y0).

　　B>0時，①Ax0+By0+C>0，則點P(x0，y0)在直線的上方;②Ax0+By0+C<0，則點P(x0，y0)在直線的下方.

　　對于任意的二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)，無論B為正值還是負值，我們都可以把y項的系數(shù)變形為正數(shù).

　　當B>0時，①Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0上方的區(qū)域;②Ax+By+C<0表示直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域.

　　2.線性規(guī)劃

　　求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.

　　滿足線性約束條件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域(類似函數(shù)的定義域);使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解.生產(chǎn)實際中有許多問題都可以歸結為線性規(guī)劃問題.

　　線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下：

　　(1)根據(jù)題意，設出變量x、y;

　　(2)找出線性約束條件;

　　(3)確定線性目標函數(shù)z=f(x，y);

　　(4)畫出可行域(即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域);

　　(5)利用線性目標函數(shù)作平行直線系f(x，y)=t(t為參數(shù));

　　(6)觀察圖形，找到直線f(x，y)=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案.

　　●點擊雙基

　　1.下列命題中正確的是

　　A.點(0，0)在區(qū)域x+y≥0內(nèi)

　　B.點(0，0)在區(qū)域x+y+1<0內(nèi)

　　C.點(1，0)在區(qū)域y>2x內(nèi)

　　D.點(0，1)在區(qū)域x-y+1>0內(nèi)

　　解析：將(0，0)代入x+y≥0，成立.

　　答案：A

　　2.(2005年海淀區(qū)期末練習題)設動點坐標(x，y)滿足

　　(x-y+1)(x+y-4)≥0，

　　x≥3，

　　A. B. C. D.10

　　解析：數(shù)形結合可知當x=3，y=1時，x2+y2的最小值為10.

　　答案：D

　　2x-y+1≥0，

　　x-2y-1≤0，

　　x+y≤1

　　A.正三角形及其內(nèi)部

　　B.等腰三角形及其內(nèi)部

　　C.在第一象限內(nèi)的一個無界區(qū)域

　　D.不包含第一象限內(nèi)的點的一個有界區(qū)域

　　解析：將(0，0)代入不等式組適合C，不對;將( ， )代入不等式組適合D，不對;又知2x-y+1=0與x-2y-1=0關于y=x對稱且所夾頂角α滿足

　　tanα= = .

　　∴α≠ .

　　答案：B

　　4.點(-2，t)在直線2x-3y+6=0的上方，則t的取值范圍是________________.

　　解析：(-2，t)在2x-3y+6=0的上方，則2×(-2)-3t+6<0，解得t> .

　　答案：t>

　　5.不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點)共有____________個.

　　解析：(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3個.

　　答案：3

　　●典例剖析

　　【例1】 求不等式|x-1|+|y-1|≤2表示的平面區(qū)域的面積.

　　剖析：依據(jù)條件畫出所表達的區(qū)域，再根據(jù)區(qū)域的特點求其面積.

　　解：|x-1|+|y-1|≤2可化為

　　x≥1， x≥1， x≤1， x≤1，

　　y≥1， y≤1， y≥1， y≤1，

　　x+y ≤4 x-y ≤2 y-x ≤2 x+y≥0.

　　其平面區(qū)域如圖.

　　∴面積S= ×4×4=8.

　　評述：畫平面區(qū)域時作圖要盡量準確，要注意邊界.

　　深化拓展

　　若再求：① ;② 的值域，你會做嗎?

　　答案： ①(-∞，- ]∪[ ，+∞);②[1，5].

　　【例2】 某人上午7時，乘摩托艇以勻速v n mile/h(4≤v≤20)從A港出發(fā)到距50 n mile的B港去，然后乘汽車以勻速w km/h(30≤w≤100)自B港向距300 km的C市駛去.應該在同一天下午4至9點到達C市.設乘汽車、摩托艇去所需要的時間分別是x h、y h.

　　(1)作圖表示滿足上述條件的x、y范圍;

　　(2)如果已知所需的經(jīng)費

　　p=100+3×(5-x)+2×(8-y)(元)，

　　那么v、w分別是多少時走得最經(jīng)濟?此時需花費多少元?

　　剖析：由p=100+3×(5-x)+2×(8-y)可知影響花費的是3x+2y的取值范圍.

　　解：(1)依題意得v= ，w= ，4≤v≤20，30≤w≤100.

　　∴3≤x≤10， ≤y≤ . ①

　　由于乘汽車、摩托艇所需的時間和x+y應在9至14個小時之間，即9≤x+y≤14.②

　　因此，滿足①②的點(x，y)的存在范圍是圖中陰影部分(包括邊界).

　　(2)∵p=100+3?(5-x)+2?(8-y)，

　　∴3x+2y=131-p.

　　設131-p=k，那么當k最大時，p最小.在通過圖中的陰影部分區(qū)域(包括邊界)且斜率為- 的直線3x+2y=k中，使k值最大的直線必通過點(10，4)，即當x=10，y=4時，p最小.

　　此時，v=12.5，w=30，p的最小值為93元.

　　評述：線性規(guī)劃問題首先要根據(jù)實際問題列出表達約束條件的不等式.然后分析要求量的幾何意義.

　　【例3】 某礦山車隊有4輛載重量為10 t的甲型卡車和7輛載重量為6 t的乙型卡車，有9名駕駛員.此車隊每天至少要運360 t礦石至冶煉廠.已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次.甲型卡車每輛每天的成本費為252元，乙型卡車每輛每天的成本費為160元.問每天派出甲型車與乙型車各多少輛，車隊所花成本費最低?

　　剖析：弄清題意，明確與運輸成本有關的變量的各型車的輛數(shù)，找出它們的約束條件，列出目標函數(shù)，用圖解法求其整數(shù)最優(yōu)解.

　　解：設每天派出甲型車x輛、乙型車y輛，車隊所花成本費為z元，那么

　　x+y≤9，

　　10×6x+6×8x≥360，

　　0≤x≤4，

　　0≤y≤7.

　　z=252x+160y，

　　其中x、y∈N.

　　作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖.

　　作出直線l0：252x+160y=0，把直線l向右上方平移，使其經(jīng)過可行域上的整點，且使在y軸上的截距最小.觀察圖形，可見當直線252x+160y=t經(jīng)過點(2，5)時，滿足上述要求.

　　此時，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5時，zmin=252×2+160×5=1304.

　　答：每天派出甲型車2輛，乙型車5輛，車隊所用成本費最低.

　　評述：用圖解法解線性規(guī)劃題時，求整數(shù)最優(yōu)解是個難點，對作圖精度要求較高，平行直線系f(x，y)=t的斜率要畫準，可行域內(nèi)的整點要找準，最好使用“網(wǎng)點法”先作出可行域中的各整點.

　　●闖關訓練

　　夯實基礎

　　1.(x-1)2+(y-1)2=1是|x-1|+|y-1|≤1的__________條件.

　　A.充分而不必要 B.必要而不充分

　　C.充分且必要 D.既不充分也不必要

　　解析：數(shù)形結合.

　　答案：B

　　2.(x+2y+1)(x-y+4)≤0表示的平面區(qū)域為

　　解析：可轉化為

　　x+2y+1≥0， x+2y+1≤0，

　　x-y+4≤0 x-y+4≥0.

　　答案：B

　　3.(2004年全國卷Ⅱ，14)設x、y滿足約束條件

　　x≥0，

　　x≥y，

　　2x-y≤1，則z=3x+2y的最大值是____________.

　　解析：如圖，當x=y=1時，zmax=5.

　　答案：5

　　x-4y+3≤0，

　　3x+5y-25≤0，

　　x≥1，

　　_________.

　　解析：作出可行域，如圖.當把z看作常數(shù)時，它表示直線y=zx的斜率，因此，當直線y=zx過點A時，z最大;當直線y=zx過點B時，z最小.

　　x=1，

　　3x+5y-25=0，得A(1， ).

　　x-4y+3=0，

　　3x+5y-25=0，

　　∴zmax= = ，zmin= .

　　答案：

　　5.畫出以A(3，-1)、B(-1，1)、C(1，3)為頂點的△ABC的區(qū)域(包括各邊)，寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域為可行域的目標函數(shù)z=3x-2y的最大值和最小值.

　　分析：本例含三個問題：①畫指定區(qū)域;②寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達式——不等式組; ③求以所寫不等式組為約束條件的給定目標函數(shù)的最值.

　　解：如圖，連結點A、B、C，則直線AB、BC、CA所圍成的區(qū)域為所求△ABC區(qū)域.

　　直線AB的方程為x+2y-1=0，BC及CA的直線方程分別為x-y+2=0，2x+y-5=0.

　　在△ABC內(nèi)取一點P(1，1)，分別代入x+2y-1，x-y+2，2x+y-5得x+2y-1>0，x-y+2>0，2x+y-5<0.

　　因此所求區(qū)域的不等式組為

　　x+2y-1≥0，

　　x-y+2≥0，

　　2x+y-5≤0.

　　作平行于直線3x-2y=0的直線系3x-2y=t(t為參數(shù))，即平移直線y= x，觀察圖形可知：當直線y= x- t過A(3，-1)時，縱截距- t最小.此時t最大，tmax=3×3-2× (-1)=11;

　　當直線y= x- t經(jīng)過點B(-1，1)時，縱截距- t最大，此時t有最小值為tmin= 3×(-1)-2×1=-5.

　　因此，函數(shù)z=3x-2y在約束條件

　　x+2y-1≥0，

　　x-y+2≥0，

　　2x+y-5≤0

　　6.某校伙食長期以面粉和大米為主食，面食每100 g含蛋白質6個單位，含淀粉4個單位，售價0.5元，米食每100 g含蛋白質3個單位，含淀粉7個單位，售價0.4元，學校要求給學生配制盒飯，每盒盒飯至少有8個單位的蛋白質和10個單位的淀粉，問應如何配制盒飯，才既科學又費用最少?

　　解：設每盒盒飯需要面食x(百克)，米食y(百克)，

　　所需費用為S=0.5x+0.4y，且x、y滿足

　　6x+3y≥8，

　　4x+7y≥10，

　　x≥0，

　　y≥0，

　　由圖可知，直線y=- x+ S過A( ， )時，縱截距 S最小，即S最小.

　　故每盒盒飯為面食 百克，米食 百克時既科學又費用最少.

　　培養(yǎng)能力

　　7.配制A、B兩種藥劑，需要甲、乙兩種原料，已知配一劑A種藥需甲料3 mg，乙料5 mg;配一劑B種藥需甲料5 mg，乙料4 mg.今有甲料20 mg，乙料25 mg，若A、B兩種藥至少各配一劑，問共有多少種配制方法?

　　解：設A、B兩種藥分別配x、y劑(x、y∈N)，則

　　x≥1，

　　y≥1，

　　3x+5y≤20，

　　5x+4y≤25.

　　上述不等式組的解集是以直線x=1，y=1，3x+5y=20及5x+4y=25為邊界所圍成的區(qū)域，這個區(qū)域內(nèi)的整點為(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)、(3，2)、(4，1).所以，在至少各配一劑的情況下，共有8種不同的配制方法.

　　8.某公司計劃在今年內(nèi)同時出售變頻空調機和智能洗衣機，由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實際情況(如資金、勞動力)確定產(chǎn)品的月供應量，以使得總利潤達到最大.已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動力，通過調查，得到關于這兩種產(chǎn)品的有關數(shù)據(jù)如下表：

　　資 金 單位產(chǎn)品所需資金(百元) 月資金供應量(百元)

　　空調機 洗衣機

　　成 本 30 20 300

　　勞動力(工資) 5 10 110

　　單位利潤 6 8

　　試問：怎樣確定兩種貨物的月供應量，才能使總利潤達到最大，最大利潤是多少?

　　解：設空調機、洗衣機的月供應量分別是x、y臺，總利潤是P，則P=6x+8y，由題意有

　　30x+20y≤300，

　　5x+10y≤110，

　　x≥0，

　　y≥0，

　　x、y均為整數(shù).

　　由圖知直線y=- x+ P過M(4，9)時，縱截距最大.這時P也取最大值Pmax=6×4+8×9=96(百元).

　　故當月供應量為空調機4臺，洗衣機9臺時，可獲得最大利潤9600元.

　　探究創(chuàng)新

　　9.實系數(shù)方程f(x)=x2+ax+2b=0的一個根在(0，1)內(nèi)，另一個根在(1，2)內(nèi)，求：

　　(1) 的值域;

　　(2)(a-1)2+(b-2)2的值域;

　　(3)a+b-3的值域.

　　f(0)>0

　　f(1)<0

　　f(2)>0

　　b>0，

　　a+b+1<0，

　　a+b+2>0.

　　如圖所示. A(-3，1)、B(-2，0)、C(-1，0).

　　又由所要求的量的幾何意義知，值域分別為(1)( ，1);(2)(8，17);(3)(-5，-4).

　　●思悟小結

　　簡單的線性規(guī)劃在實際生產(chǎn)生活中應用非常廣泛，主要解決的問題是：在資源的限制下，如何使用資源來完成最多的生產(chǎn)任務;或是給定一項任務，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的資源來完成.如常見的任務安排問題、配料問題、下料問題、布局問題、庫存問題，通常解法是將實際問題轉化為數(shù)學模型，歸結為線性規(guī)劃，使用圖解法解決.

　　圖解法解決線性規(guī)劃問題時，根據(jù)約束條件畫出可行域是關鍵的一步.一般地，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側開放的非封閉平面區(qū)域.第二是畫好線性目標函數(shù)對應的平行直線系，特別是其斜率與可行域邊界直線斜率的大小關系要判斷準確.通常最優(yōu)解在可行域的頂點(即邊界線的交點)處取得，但最優(yōu)整數(shù)解不一定是頂點坐標的近似值.它應是目標函數(shù)所對應的直線平移進入可行域最先或最后經(jīng)過的那一整點的坐標.

　　●教師下載中心

　　教學點睛

　　線性規(guī)劃是新增添的教學內(nèi)容，應予以足夠重視.

　　線性規(guī)劃問題中的可行域，實際上是二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域，是解決線性規(guī)劃問題的基礎，因為在直線Ax+By+C=0同一側的所有點(x，y)實數(shù)Ax+By+C的符號相同，所以只需在此直線的某一側任取一點(x0，y0)〔若原點不在直線上，則取原點(0，0)最簡便〕，把它的坐標代入Ax+By+C=0，由其值的符號即可判斷二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)表示直線的哪一側.這是教材介紹的方法.

　　在求線性目標函數(shù)z=ax+by的最大值或最小值時，設ax+by=t，則此直線往右(或左)平移時，t值隨之增大(或減小)，要會在可行域中確定最優(yōu)解.

　　解線性規(guī)劃應用題步驟：(1)設出決策變量，找出線性約束條件和線性目標函數(shù); (2)利用圖象在線性約束條件下找出決策變量，使線性目標函數(shù)達到最大(或最小).

　　拓展題例

　　【例1】 已知f(x)=px2-q且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的范圍.

　　解：∵-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，

　　p-q≤-1，

　　p-q≥-4，

　　4p-q≤5，

　　4p-q≥-1.

　　求z=9p-q的最值.

　　p=0，

　　q=1，

　　zmin=-1，

　　p=3，

　　q=7，

　　∴-1≤f(3)≤20.

　　【例2】 某汽車公司有兩家裝配廠，生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號的汽車，若A廠每小時可完成1輛甲型車和2輛乙型車;B廠每小時可完成3輛甲型車和1輛乙型車.今欲制造40輛甲型車和20輛乙型車，問這兩家工廠各工作幾小時，才能使所費的總工作時數(shù)最少?

　　解：設A廠工作x h，B廠工作y h，總工作時數(shù)為t h，則t=x+y，且x+3y≥40，2x+y≥20，x≥0，y≥0，可行解區(qū)域如圖.而符合問題的解為此區(qū)域內(nèi)的格子點(縱、橫坐標都是整數(shù)的點稱為格子點)，于是問題變?yōu)橐�在此可行解區(qū)域內(nèi)，找出格子點(x，y)，使t=x+y的值為最小.

　　由圖知當直線l：y=-x+t過Q點時，縱、橫截距t最小，但由于符合題意的解必須是格子點，我們還必須看Q點是否是格子點.

　　x+3y=40，

　　2x+y=20，

　　得Q(4，12)為格子點.

　　故A廠工作4 h，B廠工作12 h，可使所費的總工作時數(shù)最少.