2025年高考掌握這6種數(shù)學思想, 輕松搞定高中數(shù)學學習

2024-12-07 11:33:01網(wǎng)絡整理

　　解數(shù)學題，除了掌握有關的數(shù)學知識之外，最好掌握點解題思想。要知道高考試題的解答過程中蘊含著重要的數(shù)學思想方法，如果能有意識地在解題過程中加以運用，勢必會取得很好的效用。

　　1.函數(shù)與方程思想

　　函數(shù)與方程的思想是中學數(shù)學最基本的思想。所謂函數(shù)的思想是指用運動變化的觀點去分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系或構造函數(shù)，再運用函數(shù)的圖像與性質去分析、解決相關的問題。

　　而所謂方程的思想是分析數(shù)學中的等量關系，去構建方程或方程組，通過求解或利用方程的性質去分析解決問題。

　　2.數(shù)形結合思想

　　數(shù)與形在一定的條件下可以轉化。如某些代數(shù)問題、三角問題往往有幾何背景，可以借助幾何特征去解決相關的代數(shù)三角問題；而某些幾何問題也往往可以通過數(shù)量的結構特征用代數(shù)的方法去解決。因此數(shù)形結合的思想對問題的解決有舉足輕重的作用。

　　解題類型：

　�、�“由形化數(shù)”：就是借助所給的圖形，仔細觀察研究，提示出圖形中蘊含的數(shù)量關系，反映幾何圖形內在的屬性。

　　②“由數(shù)化形”：就是根據(jù)題設條件正確繪制相應的圖形，使圖形能充分反映出它們相應的數(shù)量關系，提示出數(shù)與式的本質特征。

　　③“數(shù)形轉換”：就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對立，又統(tǒng)一的特征，觀察圖形的形狀，分析數(shù)與式的結構，引起聯(lián)想，適時將它們相互轉換，化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關系。

　　3.分類討論思想

　　分類討論的思想之所以重要，原因一是因為它的邏輯性較強，原因二是因為它的知識點的涵蓋比較廣，原因三是因為它可培養(yǎng)學生的分析和解決問題的能力。原因四是實際問題中常常需要分類討論各種可能性。

　　解決分類討論問題的關鍵是化整為零，在局部討論降低難度。

　　常見的類型：

　　類型1：由數(shù)學概念引起的的討論，如實數(shù)、有理數(shù)、絕對值、點（直線、圓）與圓的位置關系等概念的分類討論；

　　類型2：由數(shù)學運算引起的討論，如不等式兩邊同乘一個正數(shù)還是負數(shù)的問題；

　　類型3：由性質、定理、公式的限制條件引起的討論，如一元二次方程求根公式的應用引起的討論；

　　類型4：由圖形位置的不確定性引起的討論，如直角、銳角、鈍角三角形中的相關問題引起的討論。

　　類型5：由某些字母系數(shù)對方程的影響造成的分類討論，如二次函數(shù)中字母系數(shù)對圖象的影響，二次項系數(shù)對圖象開口方向的影響，一次項系數(shù)對頂點坐標的影響，常數(shù)項對截距的影響等。

　　分類討論思想是對數(shù)學對象進行分類尋求解答的一種思想方法，其作用在于克服思維的片面性，全面考慮問題。分類的原則：分類不重不漏。

　　4.轉化與化歸思想

　　轉化與化歸是中學數(shù)學最基本的數(shù)學思想之一，是一切數(shù)學思想方法的核心。數(shù)形結合的思想體現(xiàn)了數(shù)與形的轉化；函數(shù)與方程的思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉化，所以以上三種思想也是轉化與化歸思想的具體呈現(xiàn)。

　　轉化包括等價轉化和非等價轉化，等價轉化要求在轉化的過程中前因和后果是充分的也是必要的；不等價轉化就只有一種情況，因此結論要注意檢驗、調整和補充。

　　轉化的原則是將不熟悉和難解的問題轉為熟知的、易解的和已經(jīng)解決的問題，將抽象的問題轉為具體的和直觀的問題；將復雜的轉為簡單的問題；將一般的轉為特殊的問題；將實際的問題轉為數(shù)學的問題等等使問題易于解決。

　　常見的轉化方法：

　�、僦苯愚D化法：把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題；

　�、趽Q元法：運用“換元”把式子轉化為有理式或使整式降冪等，把較復雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉化為易于解決的基本問題；

　�、蹟�(shù)形結合法：研究原問題中數(shù)量關系（解析式）與空間形式（圖形）關系，通過互相變換獲得轉化途徑；

　　④等價轉化法：把原問題轉化為一個易于解決的等價命題，達到化歸的目的；

　�、萏厥饣椒ǎ喊言瓎栴}的形式向特殊化形式轉化，并證明特殊化后的問題，使結論適合原問題；

　�、迾嬙旆ǎ�“構造”一個合適的數(shù)學模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題；

　�、咦鴺朔ǎ阂宰鴺讼禐楣ぞ撸糜嬎惴椒ń鉀Q幾何問題也是轉化方法的一個重要途徑。

　　5.特殊與一般思想

　　用這種思想解選擇題有時特別有效，這是因為一個命題在普遍意義上成立時，在其特殊情況下也必然成立，根據(jù)這一點，同學們可以直接確定選擇題中的正確選項。不僅如此，用這種思想方法去探求主觀題的求解策略，也同樣有用。

　　6.極限思想

　　極限思想解決問題的一般步驟為：一、對于所求的未知量，先設法構思一個與它有關的變量；二、確認這變量通過無限過程的結果就是所求的未知量；三、構造函數(shù)(數(shù)列)并利用極限計算法則得出結果或利用圖形的極限位置直接計算結果。