2022年北京高考數(shù)學(xué)試卷權(quán)威解析

2022-06-08 12:14:51首都教育

　　2022年北京高考數(shù)學(xué)科目的考試已經(jīng)結(jié)束了，北京教育考試院和北京教科院基教研中心的專家們對今年高考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行了權(quán)威解析，一起來看吧↓↓↓

　　數(shù)學(xué)試卷整體分析

　　守正創(chuàng)新推進(jìn)高考改革邁上新臺階

　　2022年高考數(shù)學(xué)北京卷堅持“以德為先，能力為重，全面發(fā)展”的命題理念，穩(wěn)妥推進(jìn)新高考的改革，形成了“一個中心，兩個著力點，三個突出，四條路徑”的評價體系。

　　即以立德樹人為中心，以數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力為兩個著力點；突出對主干知識、思想方法、問題解決能力的考查；通過優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)、創(chuàng)新呈現(xiàn)方式、精選試題素材，突出學(xué)科本質(zhì)，達(dá)到落實高考育人的目的。

　　一個中心

　　立德樹人

　　北京卷命題堅持以立德樹人為根本任務(wù)，構(gòu)建了引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系。

　　第7題以國家速滑館“冰絲帶”綠色環(huán)保場館為背景，設(shè)置二氧化碳所處的狀態(tài)與溫度和壓強的關(guān)系圖，滲透德育教育。

　　第18題以學(xué)生熟悉的校運動會體育比賽為背景，重點考查統(tǒng)計學(xué)中關(guān)于數(shù)據(jù)的收集、估計、預(yù)測的基本方法和原理，滲透體育教育。

　　兩個著力點

　　數(shù)學(xué)素養(yǎng)、創(chuàng)新能力

　　一、數(shù)學(xué)素養(yǎng)

　　北京卷通過設(shè)計現(xiàn)實性和綜合性問題，實現(xiàn)對邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析六大素養(yǎng)的綜合考查。

　　針對邏輯推理，北京卷設(shè)計了至少5道題進(jìn)行考查。如第15題，是以一個無窮正數(shù)數(shù)列來設(shè)置，考查數(shù)列的基本概念、研究數(shù)列的增減性、估計數(shù)列項的范圍、判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列等。四個選項既考查合情推理，也考查演繹推理。

　　針對直觀想象，北京卷設(shè)計了至少4道題進(jìn)行考查。如第9題，以正三棱錐為載體、以區(qū)域面積為出口，考查空間想象能力。問題的本質(zhì)是研究球面和平面相交所得圓的性質(zhì)。

　　針對數(shù)學(xué)運算，北京卷設(shè)計了至少12道題進(jìn)行考查。第16題，借助解三角形在考查二倍角公式、余弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識的同時，考查學(xué)生運算過程的嚴(yán)謹(jǐn)性以及運算的靈活性。

　　針對數(shù)學(xué)抽象，北京卷設(shè)計了至少2道題進(jìn)行考查。如第20題（Ⅲ），考查不等式恒成立問題，它的背景是二階導(dǎo)數(shù)大于0，即具有下凸性質(zhì)的抽象函數(shù)在一定條件下都具有的結(jié)論。

　　此外，數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析也分別設(shè)置了不同的問題進(jìn)行考查。

　　二、創(chuàng)新能力

　　北京卷設(shè)置創(chuàng)新和思維深刻的問題，考查學(xué)生的創(chuàng)新能力。如第20題（Ⅲ）和第21題，題目設(shè)計創(chuàng)新，考查學(xué)生多角度、深層次去理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

　　如第20題（Ⅲ）二元函數(shù)不等式的證明這一創(chuàng)新的設(shè)問打破常規(guī)，需要學(xué)生固定一個變量，把動態(tài)的問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)，把二元的問題轉(zhuǎn)化為一元的問題去處理�？疾閷W(xué)生將多元與一元，動態(tài)與靜態(tài)，變量與常量，高等與初等，等進(jìn)行辯證思維的能力。

　　第21題屬于綜合題，綜合了新定義、集合論、歸納法、排除法、演繹證明等思想和方法，考查學(xué)生創(chuàng)新能力。

　　三個突出

　　主干知識、思想方法、

　　問題解決能力

　　一、突出對主干知識的考查

　　2022年是北京實行新教材的第一年，北京卷基于數(shù)學(xué)課標(biāo)，回歸教材，突出對主干知識的考查，重點關(guān)注學(xué)生應(yīng)知應(yīng)會的內(nèi)容，淡化機械記憶。重點考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式、三角函數(shù)與解三角形、平面解析幾何、立體幾何、統(tǒng)計概率、數(shù)列、其他（集合、復(fù)數(shù)、二項式定理、充要條件、向量）這些主干知識，充分體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)知識考查的基礎(chǔ)性和全面性。

　　同時，北京卷關(guān)注學(xué)生的不同發(fā)展水平，通過設(shè)置具有豐富梯度的問題，達(dá)到對數(shù)學(xué)知識的綜合考查。如第17題，第20題和21題，均設(shè)置多問，體現(xiàn)出層次性和綜合性。這不僅為不同能力的學(xué)生搭建了臺階，而且也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的要求。

　　二、突出對數(shù)學(xué)思想方法的考查

　　北京卷從數(shù)學(xué)學(xué)科整體意義和思想價值的高度立意，有效檢測學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本思想方法的掌握。如第19題（Ⅱ）考查數(shù)形結(jié)合思想，第11和第14題考查了函數(shù)與方程思想，第10題體現(xiàn)的是化歸與轉(zhuǎn)化思想，第18題考查了概率統(tǒng)計的思想，第21題（Ⅲ）考查了分類討論思想。

　　三、突出對問題解決能力的考查

　　北京卷突出對數(shù)學(xué)應(yīng)用和跨學(xué)科的考查，如第7題選取綠色冬奧會為情境創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題。問題呈現(xiàn)了二氧化碳的三相圖，該圖可以使學(xué)生了解跨學(xué)科的知識。通過設(shè)置此問題，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到現(xiàn)實生活中的環(huán)保問題，樹立有責(zé)任的公民意識。

　　第18題以體育鉛球比賽為背景，考查統(tǒng)計學(xué)中預(yù)測方法與步驟的全過程。在體育比賽，特別是國際比賽中，預(yù)測比賽結(jié)果是體育比賽中一個重要的研究方向和熱門話題，通過解決此問題，使學(xué)生體會到概率統(tǒng)計知識與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系。

　　四條路徑

　　試卷結(jié)構(gòu)、呈現(xiàn)方式、

　　試題素材、數(shù)學(xué)本質(zhì)

　　一、優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)出基礎(chǔ)性和選拔性

　　北京卷進(jìn)一步優(yōu)化試卷的結(jié)構(gòu)，首次將考查立體幾何的試題改為結(jié)構(gòu)不良問題，以直三棱柱為背景考查線面關(guān)系。給出的兩個等價條件，讓學(xué)生從位置和度量兩個方面進(jìn)行選擇。這種嘗試增強了試題靈活性，為引導(dǎo)教學(xué)、防止題型固化、命題方式固化起到積極的作用。

　　在試卷難度控制上，繼續(xù)保持試題的“入口易、口徑寬”，中低難度的試題仍保持了相當(dāng)?shù)谋壤�。同時，綜合創(chuàng)新題依然具有較強的挑戰(zhàn)性，并保持了較好的區(qū)分度，如第20題第三問，第21題有三問。

　　二、改革試題呈現(xiàn)方式，體現(xiàn)試題的選擇性和開放性

　　北京卷通過創(chuàng)新題型，設(shè)計條件或結(jié)論開放、解題方法多樣、答案不唯一的試題等多種方式，體現(xiàn)試題的選擇性和開放性。

　　第14題通過含參的動區(qū)間分段函數(shù)來設(shè)計問題，按照0與1為分界點分三種情況對參數(shù)進(jìn)行討論，考查學(xué)生思維的靈活性和多樣性。

　　第15題設(shè)置了一個無窮正數(shù)數(shù)列，考查數(shù)列的增減性、估計數(shù)列項的范圍、判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。解決此問題需要學(xué)生利用放縮的思想，遞減數(shù)列的定義，數(shù)列的下界，反證的思想等去推證和證偽，考查學(xué)生對于高階知識的理解和遷移的能力。

　　北京卷在命題技術(shù)和評分量表上進(jìn)行持續(xù)探索。如設(shè)計分層賦分試題。優(yōu)化了試題的區(qū)分和考查效果。

　　三、精選試題素材，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與社會和學(xué)生生活的聯(lián)系

　　北京卷在試題素材的選取上真實、自然、合理。

　　如第7題的背景是 “冰絲帶”國家速滑館。場館采用二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，碳排放趨近于零，體現(xiàn)了中國對于綠色冬奧的努力；

　　第18題設(shè)置鉛球比賽問題，源于國家規(guī)定如果成績達(dá)到9.5m以上，可以獲得國家“三級運動員”證書這樣的背景，所設(shè)計的問題符合現(xiàn)實。材料源于社會、源于真實情境，考查學(xué)生問題解決的能力。

　　四、關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)教學(xué)回歸課堂

　　北京卷命題體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)教學(xué)回歸課堂。

　　一是試題內(nèi)容緊扣課標(biāo)和教材，如第16題、第17題都是解三角形和立體幾何的基礎(chǔ)性問題，第19題、第20題是解析幾何和導(dǎo)數(shù)問題，這四道題所考查的知識都是高中的基礎(chǔ)知識，所使用的方法也是通性通法。

　　二是試題關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)。如第10題以平面幾何切入，研究向量的數(shù)量積問題，學(xué)生可以用多種方式解決（建立直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為直線和圓的位置關(guān)系問題求解；所求向量數(shù)量積最大的問題；三角函數(shù)的值域問題），考查學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。第20題和第21題分別考查導(dǎo)數(shù)和數(shù)列的本質(zhì)，使學(xué)生從深層次去感悟數(shù)學(xué)的思想和方法。

　　總之，2022年高考數(shù)學(xué)繼續(xù)保持“入口易、口徑寬，深入緩、出口難”的特點，堅持“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的命題指導(dǎo)原則，形成了“一個中心，兩個著力點，三個突出，四條路徑”的評價體系，導(dǎo)向中學(xué)對“四具備”人才的培養(yǎng)，即具備自覺的數(shù)量觀念的人、具備嚴(yán)密推理邏輯的人、具備高度抽象概括的人、具備一絲不茍、精益求精作風(fēng)的人。

　　引導(dǎo)教學(xué)在六個方面“下功夫”，即在主干知識的掌握上下功夫、在數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的理解上下功夫、在數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟上下功夫、在數(shù)學(xué)應(yīng)用探究上下功夫、在創(chuàng)新思維形成上下功夫、在數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成上下功夫。助力學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展。

　　數(shù)學(xué)試卷試題分析

　　穩(wěn)四基為本以素養(yǎng)為魂

　　2022年高考北京數(shù)學(xué)試卷整體上符合國家課程標(biāo)準(zhǔn)要求，結(jié)合北京市高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實際情況及學(xué)情特點，知識內(nèi)容覆蓋全面，突出主干；情境問題設(shè)計多樣，指向數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

　　相比于去年，在試卷結(jié)構(gòu)上保持一致，依然是單項選擇題、填空題和解答題，每一部分題型的難度預(yù)設(shè)基本符合從易到難的分布；

　　在考查內(nèi)容上基本保持一致，強調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性。在試題的表述形式上，簡潔、規(guī)范，圖文準(zhǔn)確并相互匹配，呈現(xiàn)方式及作答方式堅持多樣化，延續(xù)了北京數(shù)學(xué)試卷“大氣、平和”的特點。

　　命題的總體穩(wěn)定有利于考生穩(wěn)定心態(tài)，正常發(fā)揮，考出自己的數(shù)學(xué)真實水平。

　　一、創(chuàng)新問題情境，堅持素養(yǎng)導(dǎo)向

　　相比于去年，在試題的情境和設(shè)問上，適度變化，強調(diào)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

　　如：第（16）題依然是解三角形問題，但是結(jié)構(gòu)良好，對正弦定理和余弦定理的考查回歸基礎(chǔ)，突出考查數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)；

　　第（17）題依然是立體幾何問題，證明線面平行以及求線面角的設(shè)問也很熟悉，但是第二問的結(jié)構(gòu)不良，需要在給出的兩個條件中選出一個作為已知，以確定側(cè)面的形狀，考查學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性；

　　第（9）題以正三棱錐為載體，以集合語言描述題目的條件，涉及的計算并不復(fù)雜，突出考查直觀想象素養(yǎng)。

　　二．注重基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)本質(zhì)

　　試題重視考查數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本方法，重點考查主干知識與核心概念。

　　如選擇題的前5道題和填空題前3道題，涉及內(nèi)容都是基礎(chǔ)知識和基本方法，考查了集合、復(fù)數(shù)、直線與圓、函數(shù)概念、三角函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)定義域、雙曲線的性質(zhì)等內(nèi)容。這些試題涉及的知識點相對單一，試題情境和設(shè)問比較熟悉，考查的也是對基礎(chǔ)知識的掌握與理解，較為容易。

　　再如第（16）題的解三角形問題、第（19）題的直線與橢圓綜合問題等，考查的均是主干知識與常規(guī)方法。

　　試題在體現(xiàn)知識考查的全面性、基礎(chǔ)性和綜合性的同時，突出考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，重點關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)和思維品質(zhì)的考查。

　　如：第（8）題二項式定理問題，既可以利用初中的公式展開，也可以賦值利用通解通法來解決；

　　第（10）題的背景是一個向量問題，考查了用代數(shù)知識解決幾何問題這個基本方法，體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平；

　　第（20）題的利用導(dǎo)數(shù)知識解決函數(shù)綜合問題，充分的體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具作用，對函數(shù)知識本質(zhì)的理解有一定要求。

　　三、關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用，考查實踐能力

　　試題關(guān)注數(shù)學(xué)知識和方法的靈活應(yīng)用。實際應(yīng)用問題關(guān)注學(xué)生的身邊事，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活且高于生活，以及數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的應(yīng)用價值。

　　如：第（7）題以北京冬奧會上國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)為背景，以圖形方式給出二氧化碳所處的狀態(tài)與溫度、壓強的關(guān)系，考查了學(xué)生讀圖、識圖、分析圖表數(shù)據(jù)、估值等數(shù)學(xué)應(yīng)用能力；

　　第（18）題以學(xué)生熟悉的校運會鉛球比賽創(chuàng)設(shè)生活實踐情境，通過研究甲乙丙三位同學(xué)以往的比賽數(shù)據(jù)，考查學(xué)生在不同容量的樣本數(shù)據(jù)中，靈活運用概率統(tǒng)計知識分析問題和解決問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思考方式解決問題、認(rèn)識世界。創(chuàng)新問題關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維特點。

　　如：第（21）題以數(shù)列為載體，考查學(xué)生對新情境新知識的理解，讓學(xué)生在閱讀數(shù)學(xué)符號和認(rèn)識新概念的基礎(chǔ)上，即時學(xué)習(xí)并創(chuàng)新應(yīng)用，體現(xiàn)了獲取新知識的能力和創(chuàng)新意識。

　　縱觀整份試卷，保持了北京試卷基礎(chǔ)、綜合、靈活的特色，穩(wěn)中求進(jìn)。在突出對基礎(chǔ)知識、基本技能、基本活動經(jīng)驗和基本思想方法考查的同時，突出對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。這套試卷給不同能力水平的學(xué)生提供了展示的平臺，對數(shù)學(xué)學(xué)科的日常教學(xué)及深化改革有積極的引導(dǎo)作用。