1999中國數(shù)學(xué)奧林匹克(北京)(第十四屆全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營)
2009-08-31 12:09:53網(wǎng)絡(luò)來源
第一天(1999年1月11日上午8:00-12:30)
一、在銳角△ABC中,∠C>∠B,點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn),使得∠ADB是鈍角,H是△ABD的垂心,點(diǎn)F在△ABC內(nèi)部且在△ABD的外接圓周上,求證點(diǎn)F是△ABC垂心的充分必要條件是:HD平行于CF且H在△ABC的外接圓周上.
二、給定實(shí)數(shù)a,設(shè)實(shí)多項(xiàng)式序列{fn(x)}滿足f0(x)=1,fn+1(x)=xfn(x)+fn(ax),n=0,1,2,……
(1)求證fn(x)=xnfn(1/x),n=0,1,2,……
。2)求fn(x)的明顯表達(dá)式.
三、MO太空城由99個(gè)空間站組成。任兩空間站之間有管形通道相聯(lián)。規(guī)定其中99條通道為雙向通行的主干道,其余通道嚴(yán)格單向通行。如果某四個(gè)空間站可能通過它們之間的通道從其中任一站到達(dá)另外任一站,則稱這四個(gè)站的集合為一個(gè)互通四站組。
試為MO太空城設(shè)計(jì)一個(gè)方案,使得互通四站組的數(shù)目最大(請(qǐng)具體算出該最大數(shù),并證明你的結(jié)論)
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第二天(1999年1月12日上午8:00-12:30)
四、設(shè)m是給定的整數(shù).求證:存在整數(shù)a,b和k.其中a,b均不能被2整除,k≥0,使得
2m=a19+b99+k·21999.
五、求最大的實(shí)數(shù)λ,使得當(dāng)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)=x3+ax2+bx+c的所有根都是非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí),只要x≥0,就有f(x)≥λ(x-a)3.并問上式中等號(hào)何時(shí)成立?
六、設(shè)4×4×4的大正方體由64個(gè)單位正方體組成.選取其中的16個(gè)單位正方體涂成紅色,使得大正方體中每個(gè)由4個(gè)單位正方體構(gòu)成的1×1×4的小長方體中,都恰有1個(gè)紅正方體.問16個(gè)紅正方體共有多少種不同取法?說明理由.