外國數(shù)學史

　　非洲東北部的尼羅河流域，孕育了埃及的文化。在公元前3500-3000年間，這里曾建立了一個統(tǒng)一的帝國。
　　
　　目前我們對古埃及數(shù)學的認識，主要源于兩份用僧侶文寫成的紙草書，其一是成書于公元前1850年左右的莫斯科紙草書，另一份是約成書于公元前1650年的蘭德(Rhind)紙草書，又稱阿梅斯(Ahmes)紙草書。阿梅斯紙草書的內容相當豐富，講述了埃及的乘法和除法、單位分數(shù)的用法、試位法、求圓面積問題的解和數(shù)學在許多實際問題中的應用。
　　
　　古埃及人使用象形文字，其數(shù)字以十進制表示，但并非位值制，而分數(shù)還有一套專門的記法。由埃及數(shù)系建立起來的算術具有加法特征，其乘、除法的計算也只是利用連續(xù)加倍的方法來完成。古埃及人將所有的分數(shù)都化成單位分數(shù)(分子為1的分數(shù)之和)，在阿梅斯紙草書中，有很大一張分數(shù)表，把狀分數(shù)表示成單位分數(shù)之和，如：，，…，，等等。
　　
　　古埃及人已經(jīng)能解決一些屬于一次方程和最簡單的二次方程的問題，還有一些關于等差數(shù)列、等比數(shù)列的初步知識。
　　
　　如果說巴比倫人發(fā)展了卓越的算術和代數(shù)學，那么在另一方面，人們一般認為埃及人在幾何學方面要勝過巴比倫人。一種觀點認為，尼羅河水每年一次的定期泛濫，淹沒河流兩岸的谷地。大水過后，法老要重新分配土地，長期積累起來的土地測量知識逐漸發(fā)展為幾何學。
　　
　　埃及人能夠計算簡單平面圖形的面積，計算出的圓周率為3.16049；他們還知道如何計算棱椎、圓椎、圓柱體及半球的體積。其中最驚人的成就在于方棱椎平頭截體體積的計算，他們給出的計算過程與現(xiàn)代的公式相符。
　　
　　至于在建造金字塔和神殿過程中，大量運用數(shù)學知識的事實表明，埃及人已積累了許多實用知識，而有待于上升為系統(tǒng)的理論。
　　
　　印度數(shù)學(HinduMathematics)
　　
　　印度是世界上文化發(fā)達最早的地區(qū)之一，印度數(shù)學的起源和其它古老民族的數(shù)學起源一樣，是在生產(chǎn)實際需要的基礎上產(chǎn)生的。但是，印度數(shù)學的發(fā)展也有一個特殊的因素，便是它的數(shù)學和歷法一樣，是在婆羅門祭禮的影響下得以充分發(fā)展的。再加上佛教的交流和貿易的往來，印度數(shù)學和近東，特別是中國的數(shù)學便在互相融合，互相促進中前進。另外，印度數(shù)學的發(fā)展始終與天文學有密切的關系，數(shù)學作品大多刊載于天文學著作中的某些篇章。
　　
　　《繩法經(jīng)》屬于古代婆羅門教的經(jīng)典，可能成書于公元前6世紀，是在數(shù)學史上有意義的宗教作品，其中講到拉繩設計祭壇時所體現(xiàn)到的幾何法則，并廣泛地應用了勾股定理。
　　
　　此后約1000年之中，由于缺少可靠的史料，數(shù)學的發(fā)展所知甚少。
　　
　　公元5-12世紀是印度數(shù)學的迅速發(fā)展時期，其成就在世界數(shù)學史上占有重要地位。在這個時期出現(xiàn)了一些著名的學者，如6世紀的阿利耶波多(第一)(ryabhata)，著有《阿利耶波多歷數(shù)書》；7世紀的婆羅摩笈多(Brahmagupta)，著有《婆羅摩笈多修訂體系》(Brahma-sphuta-sidd'hnta)，在這本天文學著作中，包括「算術講義」和「不定方程講義」等數(shù)學章節(jié)；9世紀摩訶毗羅(Mahvira)；12世紀的婆什迦羅(第二)(Bhskara)，著有《天文系統(tǒng)極致》(Siddhntairomani)，有關數(shù)學的重要部份為《麗羅娃提》(Lilvati)和《算法本源》(Vjaganita)等等。
　　
　　在印度，整數(shù)的十進制值制記數(shù)法產(chǎn)生于6世紀以前，用9個數(shù)字和表示零的小圓圈，再借助于位值制便可寫出任何數(shù)字。他們由此建立了算術運算，包括整數(shù)和分數(shù)的四則運算法則；開平方和開立方的法則等。對于「零」，他們不單是把它看成「一無所有」或空位，還把它當作一個數(shù)來參加運算，這是印度算術的一大貢獻。
　　
　　印度人創(chuàng)造的這套數(shù)字和位值記數(shù)法在8世紀傳入伊斯蘭世界，被阿拉伯人采用并改進。13世紀初經(jīng)斐波納契的《算盤書》流傳到歐洲，逐漸演變成今天廣為利用的1，2，3，4，…等等，稱為印度－阿拉伯數(shù)碼。
　　
　　印度對代數(shù)學做過重大的貢獻。他們用符號進行代數(shù)運算，并用縮寫文字表示未知數(shù)。他們承認負數(shù)和無理數(shù)，對負數(shù)的四則運算法則有具體的描述，并意識到具有實解的二次方程有兩種形式的根。印度人在不定分析中顯示出卓越的能力，他們不滿足于對一個不定方程只求任何一個有理解，而致力于求所有可能的整數(shù)解。印度人還計算過算術級數(shù)和幾何級數(shù)的和，解決過單利與復利、折扣以及合股之類的商業(yè)問題。
　　
　　印度人的幾何學是憑經(jīng)驗的，他們不追求邏輯上嚴謹?shù)淖C明，只注重發(fā)展實用的方法，一般與測量相聯(lián)系，側重于面積、體積的計算。其貢獻遠遠比不上他們在算術和代數(shù)方面的貢獻大。在三角學方面，印度人用半弦(即正弦)代替了希臘人的全弦，制作正弦表，還證明了一些簡單的三角恒等式等等。他們在三角學所做的研究是十分重要的。
　　
　　阿拉伯數(shù)學(ArabicMathematics)
　　
　　從九世紀開始，數(shù)學發(fā)展的中心轉向拉伯和中亞細亞。
　　
　　自從公元七世紀初伊斯蘭教創(chuàng)立后，很快形成了強大的勢力，迅速擴展到阿拉伯半島以外的廣大地區(qū)，跨越歐、亞、非三大洲。在這一廣大地區(qū)內，阿拉伯文是通用的官方文字，這里所敘述的阿拉伯數(shù)學，就是指用阿拉伯語研究的數(shù)學。
　　
　　從八世紀起，大約有一個到一個半世紀是阿拉伯數(shù)學的翻譯時期，巴格達成為學術中心，建有科學宮、觀象臺、圖書館和一個學院。來自各地的學者把希臘、印度和波斯的古典著作大量地譯為阿拉伯文。在翻譯過程中，許多文獻被重新校訂、考證和增補，大量的古代數(shù)學遺產(chǎn)獲得了新生。阿拉伯文明和文化在接受外來文化的基礎上，迅速發(fā)展起來，直到15世紀還充滿活力。
　　
　　花拉子米(Al-khowarizmi)是阿拉伯初期最主要的數(shù)學家，他編寫了第一本用阿拉伯語在伊斯蘭世界介紹印度數(shù)字和記數(shù)法的著作。公元十二世紀后，印度數(shù)字、十進制值制記數(shù)法開始傳入歐洲，又經(jīng)過幾百年的改革，這種數(shù)字成為我們今天使用的印度─阿拉伯數(shù)碼�；ɡ�子米的另一名著《ilmal-jabrwa'lmugabalah》(《代數(shù)學》)系統(tǒng)地討論了一元二次方程的解法，該種方程的求根公式便是在此書中第一次出現(xiàn)�，F(xiàn)代“algebra”(代數(shù)學)一詞亦源于書名中出現(xiàn)的“aljabr”。
　　
　　三角學在阿拉伯數(shù)學中占有重要地位，它的產(chǎn)生與發(fā)展和天文學有密切關系。阿拉伯人在印度人和希臘人工作的基礎上發(fā)展了三角學。他們引進了幾種新的三角量，揭示了它們的性質和關系，建立了一些重要的三角恒等式。給出了球面三角形和平面三角形的全部解法，制造了許多較精密的三角函數(shù)表。其中著名的數(shù)學家有：阿爾巴塔尼(Al-Battani)、阿卜爾維法(Abu'l-Wefa)、阿爾比魯尼(Al-Beruni)等。系統(tǒng)而完整地論述三角學的著作是由十三世紀的學者納西爾丁(Nasired-din)完成的，該著作使三角學脫離天文學而成為數(shù)學的獨立分支，對三角學在歐洲的發(fā)展有很大的影響。
　　
　　在近似計算方面，十五世紀的阿爾卡西(Al-kashi)在他的《圓周論》中，敘述了圓周率π的計算方法，并得到精確到小數(shù)點后16位的圓周率，從而打破祖沖之保持了一千年的記錄。此外，阿爾卡西在小數(shù)方面做過重要工作，亦是我們所知道的以「帕斯卡三角形」形式處理二項式定理的第一位阿拉伯學者。
　　
　　阿拉伯幾何學的成就低于代數(shù)和三角。希臘幾何學嚴密的邏輯論證沒有被阿拉伯人接受。
　　
　　總的來看，阿拉伯數(shù)學較缺少創(chuàng)造性，但當時世界上大多數(shù)地方正處于科學上的貧瘠時期，其成績相對顯得較大，值得贊美的是他們充當了世界上大量精神財富的保存者，在黑暗時代過去后，這些精神財富才傳回歐洲。歐洲人主要就是通過他們的譯著才了解古希臘和印度以及中國數(shù)學的成就。
　　
　　古希臘數(shù)學(AncientGreekMathematics)
　　
　　古代希臘從地理疆城上講，包括巴爾干半島南部、小亞細亞半島西部、意大利半島南部、西西里島及愛琴海諸島等地區(qū)。這里長期以來由許多大小奴棣制城邦國組成，直到約公元前325年，亞歷山大大帝(AlexandertheGreat)征服了希臘和近東、埃及，他在尼羅河口附近建立了亞歷山大里亞城(Alexandria)。亞歷山大大帝死后(323B.C.)，他創(chuàng)建的帝國分裂為三個獨立的王國，但仍聯(lián)合在古希臘文化的約束下，史稱希臘化國家。統(tǒng)治了埃及的托勒密一世(PtolemytheFirst)大力提倡學術，多方網(wǎng)羅人才，在亞歷山大里亞建立起一座空前宏偉的博物館和圖書館，使這里取代雅典，一躍而成為古代世界的學術文化中心，繁榮幾達千年之久！
　　
　　希臘人的思想毫無疑問地受到了埃及和巴比倫的影響，但是他們創(chuàng)立的數(shù)學與前人的數(shù)學相比較，卻有著本質的區(qū)別，其發(fā)展可分為雅典時期和亞歷山大時期兩個階段。
　　
　　一、雅典時期(600B.C.-300B.C.)
　　
　　這一時期始于泰勒斯(Thales)為首的伊奧尼亞學派(Ionians)，其貢獻在于開創(chuàng)了命題的證明，為建立幾何的演繹體系邁出了第一步。稍后有畢達哥拉斯(Pythagoras)領導的學派，這是一個帶有神秘色彩的政治、宗教、哲學團體，以「萬物皆數(shù)」作為信條，將數(shù)學理論從具體的事物中抽象出來，予數(shù)學以特殊獨立的地位。
　　
　　公元前480年以后，雅典成為希臘的政治、文化中心，各種學術思想在雅典爭奇斗妍，演說和辯論時有所見，在這種氣氛下，數(shù)學開始從個別學派閉塞的圍墻里跳出來，來到更廣闊的天地里。
　　
　　埃利亞學派的芝諾(Zeno)提出四個著名的悖論(二分說、追龜說、飛箭靜止說、運動場問題)，迫使哲學家和數(shù)學家深入思考無窮的問題。智人學派提出幾何作圖的三大問題：化圓為方、倍立方體、三等分任意角。希臘人的興趣在于從理論上去解決這些問題，是幾何學從實際應用向演繹體系靠攏的又一步。正因為三大問題不能用標尺解出，往往使研究者闖入未知的領域中，作出新的發(fā)現(xiàn)：圓錐曲線就是最典型的例子；「化圓為方」問題亦導致了圓周率和窮竭法的探討。
　　
　　哲學家柏拉圖(Plato)在雅典創(chuàng)辦著名的柏拉圖學園，培養(yǎng)了一大批數(shù)學家，成為早期畢氏學派和后來長期活躍的亞歷山大學派之間聯(lián)系的紐帶。歐多克斯(Eudoxus)是該學園最著名的人物之一，他創(chuàng)立了同時適用于可通約量及不可通約量的比例理論。柏拉圖的學生亞里士多德(Aristotle)是形式主義的奠基者，其邏輯思想為日后將幾何學整理在嚴密的邏輯體系之中開辟了道路。
　　
　　二、亞歷山大時期(300B.C.-641A.D.)
　　
　　這一階段以公元前30年羅馬帝國吞并希臘為分界，分為前后兩期。
　　
　　亞歷山大前期出現(xiàn)了希臘數(shù)學的黃金時期，代表人物是名垂千古的三大幾何學家：歐幾里得(Euclid)、阿基米德(Archimedes)及阿波洛尼烏斯(Appollonius)。
　　
　　歐幾里得總結古典希臘數(shù)學，用公理方法整理幾何學，寫成13卷《幾何原本》(Elements)。這部劃時代歷史巨著的意義在于它樹立了用公理法建立起演繹數(shù)學體系的最早典范。
　　
　　阿基米德是古代最偉大的數(shù)學家、力學家和機械師。他將實驗的經(jīng)驗研究方法和幾何學的演繹推理方法有機地結合起來，使力學科學化，既有定性分析，又有定量計算。阿基米德在純數(shù)學領域涉及的范圍也很廣，其中一項重大貢獻是建立多種平面圖形面積和旋轉體體積的精密求積法，蘊含著微積分的思想。
　　
　　亞歷山大圖書館館長埃拉托塞尼(Eratosthenes)也是這一時期有名望的學者。阿波洛尼烏斯的《圓錐曲線論》(ConicSections)把前輩所得到的圓錐曲線知識，予以嚴格的系統(tǒng)化，并做出新的貢獻，對17世紀數(shù)學的發(fā)展有著巨大的影響。
　　
　　亞歷山大后期是在羅馬人統(tǒng)治下的時期，幸好希臘的文化傳統(tǒng)未被破壞，學者還可繼續(xù)研究，然而已沒有前期那種磅礡的氣勢。這時期出色的數(shù)學家有海倫(Heron)、托勒密(Plolemy)、丟番圖(Diophantus)和帕波斯(Pappus)。丟番圖的代數(shù)學在希臘數(shù)學中獨樹一幟；帕波斯的工作是前期學者研究成果的總結和補充。之后，希臘數(shù)學處于停滯狀態(tài)。
　　
　　公元415年，女數(shù)學家，新柏拉圖學派的領袖希帕提婭(Hypatia)遭到基督徒的野蠻殺害。她的死標志著希臘文明的衰弱，亞歷山大里亞大學有創(chuàng)造力的日子也隨之一去不復返了。
　　
　　公元529年，東羅馬帝國皇帝查士丁尼(Justinian)下令關閉雅典的學校，嚴禁研究和傳播數(shù)學，數(shù)學發(fā)展再次受到致命的打擊。
　　
　　公元641年，阿拉伯人攻占亞歷山大里亞城，圖書館再度被焚(第一次是在公元前46年)，希臘數(shù)學悠久燦爛的歷史，至此終結。
　　
　　總括而言，希臘數(shù)學的成就是輝煌的，它為人類創(chuàng)造了巨大的精神財富，不論從數(shù)量還是從質量來衡量，都是世界上首屈一指的。比希臘數(shù)學家取得具體成果更重要的是：希臘數(shù)學產(chǎn)生了數(shù)學精神，即數(shù)學證明的演繹推理方法。數(shù)學的抽象化以及自然界依數(shù)學方式設計的信念，為數(shù)學乃至科學的發(fā)展起了至關重要的作用。而由這一精神所產(chǎn)生的理性、確定性、永恒的不可抗拒的規(guī)律性等一系列思想，則在人類文化發(fā)展史上占據(jù)了重要的地位。
　　
　　美索不達米亞的數(shù)學(MathematicsinMesopotamia)
　　
　　亞洲西部的底格里斯河與幼發(fā)拉底河之間的兩河流域，古稱為「美索不達米亞」。公元前十九世紀，這里建立了巴比倫王國，孕育了巴比倫文明。
　　
　　考古學家在十九世紀上半葉于美索不達米亞挖掘出大約50萬塊刻有楔形文字、跨躍巴比倫歷史許多時期的泥書板。其中有近400塊被鑒定為載有數(shù)字表和一批數(shù)學問題的純數(shù)學書板，現(xiàn)在關于巴比倫的數(shù)學知識就源于分析這些原始文獻。
　　
　　算術
　　
　　古代巴比倫人是具有高度計算技巧的計算家，其計算程序是借助乘法表、倒數(shù)表、平方表、立方表等數(shù)表來實現(xiàn)的。巴比倫人書寫數(shù)字的方法，更值得我們注意。他們引入了以60為基底的位值制(60進制），希臘人、歐洲人直到16世紀亦將這系統(tǒng)運用于數(shù)學計算和天文學計算中，直至現(xiàn)在60進制仍被應用于角度、時間等記錄上。
　　
　　代數(shù)
　　
　　巴比倫人有豐富的代數(shù)知識，許多泥書板中載有一次和二次方程的問題，他們解二次方程的過程與今天的配方法、公式法一致。此外，他們還討論了某些三次方程和含多個未知量的線性方程組問題。
　　
　　在1900B.C.-1600B.C.年間的一塊泥板上(普林頓322號)，記錄了一個數(shù)表，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)其中有兩組數(shù)分別是邊長為整數(shù)的直角三角形斜邊邊長和一個直角邊邊長，由此推出另一個直角邊邊長，亦即得出不定方程的整數(shù)解。
　　
　　幾何
　　
　　巴比倫的幾何學與實際測量是有密切的聯(lián)系。他們已有相似三角形之對應邊成比例的知識，會計算簡單平面圖形的面積和簡單立體體積。我們現(xiàn)在把圓周分為360等分，也應歸功于古代巴比倫人。巴比倫幾何學的主要特征更在于它的代數(shù)性質。例如，涉及平行于直角三角形一條邊的橫截線問題引出了二次方程；討論棱椎的平頭截體的體積時出現(xiàn)了三次方程。
　　
　　古巴比倫的數(shù)學成就在早期文明中達到了極高的水平，但積累的知識僅僅是觀察和經(jīng)驗的結果，還缺乏理論上的依據(jù)。
　　
　　羅馬和歐洲中世紀的數(shù)學(MathematicsinRomaandmedienalEurope)
　　
　　羅馬人活躍于歷史舞臺上的時期大約從公元前七世紀至公元五世紀。他們在軍事上和政治上曾取得極大成功，在文化方面也頗有建樹，但他們的數(shù)學卻很落后，只有一些粗淺的算術和近似的幾何公式。著名的科學書籍有維特魯維尼斯的《建筑十書》(公元前14年)。書中比較注重處理數(shù)學問題，使用了建筑物的平面體和立視圖，可以看到畫法幾何的萌芽。此外，羅馬人對歷法改革也有一定的貢獻。
　　
　　從西羅馬帝國滅亡(公元476年)到11世紀稱為歐洲的黑暗時期。西歐文化處于低潮，基督教的絕對統(tǒng)治嚴重地破壞了科學發(fā)展。這一時期只出現(xiàn)少數(shù)幾位熱心學術的學者和教士：殉道的羅馬公民博埃齊(Boethius)，英國的教士學者比德(Bede)和阿爾克溫(Alcuin)，著名的法國學者、教士熱爾拜爾(Gerbert)──他后來成了教皇西爾維斯特二世(PopeSylvesterII)。
　　
　　十二世紀是數(shù)學史上的大翻譯時期，是知識傳播的世紀，由穆斯林保存下來的希臘科學和數(shù)學的經(jīng)典著作，以及阿拉伯學者寫的著作開始被大量翻譯為拉丁文，并傳入西歐。當時主要的傳播地點是西班牙和西西里，著名的翻譯家有巴思的英國修士阿德拉特(Adelard)、克雷莫納的格拉多(Gherardo)、切斯特的羅伯特(Robert)等等。
　　
　　意大利的斐波那契(Fibonacci)是中世紀最杰出的數(shù)學家。他早年到各地旅游，經(jīng)比較后確認印度—阿拉伯數(shù)碼及其記數(shù)法在實用上最為優(yōu)越，回到家鄉(xiāng)后寫成《算盤書》(Liberabaci，1202)。這部書是講算術和初等代數(shù)的，雖說實質上是獨立的研究，但也表現(xiàn)出受花拉子米(Al-knowarizmi)和阿布卡密耳(AbuKamil)的代數(shù)學的影響。這部書對印度─阿拉伯數(shù)碼的詳盡敘述和強列支持，是有助于將這些符號引進歐洲的。斐波那契的另兩部著作《實用幾何》(Practicageometriae，1220)和《象限儀書》(Liberquadratorum，1225)是專門討論幾何、三角學和不定分析，同樣是有獨創(chuàng)性的著作。
　　
　　十四世紀相對地是數(shù)學上的不毛之地，這一時期最大的數(shù)學家是法國的N·奧雷斯姆(Oresme)，在他的著作中，首次使用分數(shù)指數(shù)，還提出用坐標表示點的位置和溫度的變化，出現(xiàn)了變量和函數(shù)的概念。他的工作影響到文藝復興后包括笛卡爾在內的學者。
　　
　　十二世紀后，歐洲各地出現(xiàn)了許多從原教會學校基礎上轉變而來的大學。十三世紀上半葉，巴黎、牛津、劍橋、帕多瓦和那不勒斯等地的一些大學里，數(shù)學教育開始興起，這些大學成為后世數(shù)學發(fā)展的重要基地。
　　
　　中美洲的數(shù)學(MathematicsinCentralAmerica)
　　
　　古代美洲文明是世界文明的重要組成部份。公元前1000年左右，中美洲興起了瑪雅文化，公元300-900年間是瑪雅文化的全盛時期，之后便漸漸衰弱。對這里數(shù)學的了解，主要來自一些殘剩的瑪雅時代的石刻和幾種瑪雅文古抄本：德累斯頓抄本、馬德里抄本、巴黎抄本等。
　　
　　早在公元最初的幾個世紀里，瑪雅人就創(chuàng)立了以地球圍繞太陽旋轉一周作為一年的「太陰歷」，比古代希臘、羅馬人的歷法還要精確。與此同時，瑪雅人創(chuàng)造了獨特的以20進位的位值制計數(shù)法。他們用三個符號「」、「」、「」分別表示1、5和0，別的數(shù)字就由這三個符號組合，例如1-19各個數(shù)字表示如下：
　　
　　到了20則進位�，斞湃思訙p法的運算比較簡單，與阿拉伯數(shù)碼的運算相同。對于乘除法運算，已發(fā)現(xiàn)的瑪雅文獻中還沒有見到有關的例子。
　　
　　瑪雅人對形的認識，只能從瑪雅古建筑中體會到一些，這些古建筑從外形看都很整齊規(guī)范。
　　
　　文藝復興時期的數(shù)學(MathematicsintheRenaissance)
　　
　　十四至十六世紀在歐洲歷史上是從中世紀向近代過渡的時期，史稱文藝復興時期。中世紀束縛人們思想的宗教觀、神學和經(jīng)院哲學逐步被摧毀，出現(xiàn)了復興古代科學和藝術的文化運動。在自然科學方面，如哥倫布地理上的大發(fā)現(xiàn)、哥白尼的日心說、伽利略在數(shù)學物理上的創(chuàng)造發(fā)明等革命性事件相繼發(fā)生。
　　
　　這一時期，在數(shù)學中首先發(fā)展起來的是透視法。藝術家們把描述現(xiàn)實世界作為繪畫的目標，研究如何把三維的現(xiàn)實世界繪制在二維的畫布上。他們研究繪畫的數(shù)學理論，建立了早期的數(shù)學透視法思想，這些工作成為十八世紀射影幾何的起點。其中最著名的代表人物有：意大利的達芬奇(LeonardodaVinci)、阿爾貝蒂(LeoneBattistaAlberti)、弗朗西斯卡(PierodellaFrancesca)、德國的丟勒(AlbrechtDurer)等。
　　
　　文藝復興時期更出版了一批普及的算術書，內容多是用于商業(yè)、稅收測量等方面的實用算術。印度─阿拉伯數(shù)碼的使用使算術運算日趨標準化。L·帕奇歐里(Pacioli)的《算術、幾何及比例性質之摘要》(Summadearithmetica，geometrica，proportionietproportionalita，1494)是一本內容全面的數(shù)學書；J·維德曼(Widman)的《商業(yè)速算法》(1489)中首次使用符號「+」和「-」表示加法和減法；A·里澤(Riese)于1522年出版的算術書多次再版，有廣泛的影響；斯蒂文(SimonStevin)的《論十進》(1585)系統(tǒng)闡述了十進分數(shù)的理論。
　　
　　代數(shù)學在文藝復興時期獲得了重要發(fā)展。最杰出的成果是意大利學者所建立的三、四次方程的解法�？�爾達諾在他的著作《大術》(Arsmagna，1545)中發(fā)表了三次方程的求根公式，但這一公式的發(fā)現(xiàn)實應歸功于另一學者塔爾塔利亞(Tartaglia)。四次方程的解法由卡爾達諾的學生費拉里(Ferrari)發(fā)現(xiàn)，在《大術》中也有記載。稍后，邦貝利(Bombelli)在他的著作中闡述了三次方程不可約的情形，并使用了虛數(shù)，還改進了當時流行的代數(shù)符號。
　　
　　符號代數(shù)學的最終確立是由16世紀最著名的法國數(shù)學家韋達(Viete)完成的。他在前人工作的基礎上，于1591年出版了名著《分析方法入門》(Inartemanalyticamisagoge)，對代數(shù)學加以系統(tǒng)的整理，并第一次自覺地使用字母來表示未知數(shù)和已知數(shù)，使代數(shù)學的形式更抽象，應用更廣泛。韋達在他的另一部著作《論方程的識別與訂正》(Deaequationumrecognitioneetemendatione，1615)中，改進了三、四次方程的解法，還對n=2、3的情形，建立了方程根與系數(shù)之間的關系，現(xiàn)代稱之為韋達定理。
　　
　　在文藝復興時期，三角學也獲得了較大的發(fā)展。德國數(shù)學家雷格蒙塔努斯(Regiomontanus)的《論各種三角形》(Detriangulisomnimodis)是歐洲第一部獨立于天文學的三角學著作。書中對平面三角和球面三角進行了系統(tǒng)的闡述，還有很精密的三角函數(shù)表。哥白尼的學生雷蒂庫斯(GeorgeJoachimRhaeticus)
　　
　　文藝復興時期在文學、繪畫、建筑、天文學各領域都取得了巨大的成就。數(shù)學方面則主要是在中世紀大翻譯運動的基礎上，吸收希臘和阿拉伯的數(shù)學成果，從而建立了數(shù)學與科學技術的密切聯(lián)系，為下兩個世紀數(shù)學的大發(fā)展作了準備。
　　
　　日本數(shù)學(MathematicsinJapan)
　　
　　人類從何時才開始定居于日本列島，至今仍無定論。公元四世紀中葉，日本建立了第一個統(tǒng)一的國家。在十世紀以前，日本主要吸收外來的文化。中國、朝鮮和印度的文化對日本都有很大的影響，十世紀以后，真正的日本文化才發(fā)展起來。日本數(shù)學的繁榮則更晚，是十七世紀以后的事。
　　
　　日本人把受西方數(shù)學影響以前，按自己的特點發(fā)展起來的數(shù)學叫和算，也算日本傳統(tǒng)數(shù)學。十七世紀后期至十九世紀中葉是和算的興盛時期。
　　
　　和算在中國古代數(shù)學的影響下發(fā)展起來。公元六世紀始，中國的歷法和數(shù)學就直接或間接地(通過朝鮮)傳入日本，日本政府亦多次派留學生到中國唐朝學習數(shù)學。到八世紀初，日本已仿照隋唐時期的數(shù)學教育制度設立算學博士并采用《周髀算經(jīng)》、《九章算術》、《孫子算經(jīng)》、《綴術》等中國古算書作為教材，這是中國數(shù)學輸入日本的第一個時期。
　　
　　十三至十七世紀，是中國數(shù)學傳入日本的第二個時期，《楊輝算法》、《算學啟蒙》、《算法統(tǒng)宗》等陸續(xù)傳入日本，對日本數(shù)學的發(fā)展有重要的影響。吉田光由的《塵劫記》(1627)使珠算術在日本迅速得到普及，其內容與《算法統(tǒng)宗》極為相似，只是其中許多例題是根據(jù)日本的實際情況編寫的。這時期還有幾本著作是專門介紹和解釋《算學啟蒙》的。
　　
　　十七世紀初，日本數(shù)學家開始寫出自己的著作，如毛利重能的《割算書》(1622)、今村知商的《豎亥錄》(1639)等。到十七世紀末期，通過關孝和等人的工作，逐漸形成了日本數(shù)學體系──和算。
　　
　　關孝和在日本被尊為「算圣」，十七世紀末到十八世紀初，以他為核心形成一個學派﹝關流﹞，這一學派的主要成就是「點竄術」和「圓理」�！更c竄術」是把由中國傳入的天文術改為筆算，并改進了算式的記法，是和算特有的筆算代數(shù)學。「圓理」可看作是和算特有的數(shù)學分析。建部賢弘求得弧長的無窮級數(shù)表達式，又稱圓理公式。久留島義太推廣了圓理公式，發(fā)展了圓理的極數(shù)術(極值問題)，并在西方數(shù)學家之前發(fā)現(xiàn)了歐拉函數(shù)和行列式展開定理。關氏學派的第四代大師安島直圓深入到微積分領域，提出一種求弧長的方法；又將此法推廣，形成二重積分，求出了兩相交圓柱公共部份的體積。晚期的關氏學派數(shù)學家和田寧進一步改進了圓理，使計算弧長、面積、體積等問題更加簡化，他使用的方法和現(xiàn)在積分法的原理相近。
　　
　　除了關氏學派外，還有一些較小的學派。他們總結了和算中的各種幾何問題；深入研究了計算橢圓、球面等面積和體積的公式；探討了代數(shù)方程理論等等。
　　
　　十九世紀中葉，日本政府采取了開國政策，西方數(shù)學大量傳入。明治維新時期，日本政府實行「和算廢止，洋算專用」政策，和算迅速衰廢(只有珠算沿用至今)，同時開始了近代數(shù)學的研究。時至今日，日本已步入世界上數(shù)學研究先進國家的行列。