幾道趣味算術(shù)題的分析

　　小學(xué)生學(xué)珠算時(shí)最常做的是自然數(shù)累加、三盤清、九盤清這三種基本練習(xí)。

　　其中自然數(shù)累加就是1+2+3+4+……+97+98+99+100，它的計(jì)算結(jié)果可用大家熟悉的等差數(shù)列求和公式（首項(xiàng)+尾項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2來計(jì)算。從1加到100是5050，從中取任一段數(shù)的和都可用此公式算出來。

　　三盤清也叫見珠打珠，就是在算盤上先撥上123456789，然后從左向右每一檔看見原來是什么數(shù)就加上什么數(shù)，加第一遍后再?gòu)淖笙蛴壹拥诙�遍、第三遍，這樣加的結(jié)果是987654312，要是再在末尾加上9就成了987654321。

　　九盤清是在算盤上先撥123456789，然后一遍又一遍的加123456789，連加九遍后得出結(jié)果是1234567890。

　　本人從小腦子很靈但手指很笨，最怕上珠算課，上課時(shí)老師要我們練習(xí)累加，全班同學(xué)陸陸續(xù)續(xù)完成從1加到100后把手舉了起來，可我一個(gè)人還在56、57、58、……笨拙地?fù)芾�著算盤珠子，實(shí)在不好意思就偷偷的撥上5050后把手舉起。后來老師發(fā)現(xiàn)部分同學(xué)作弊就每天變化，今天要求從1加到73、明天要求從1加到84、……，讓大家不能預(yù)知最終計(jì)算結(jié)果。但這也難不到未到十歲的我，我通過自己的分析總結(jié)出用（第一個(gè)數(shù)+最后一個(gè)數(shù)）×數(shù)字個(gè)數(shù)÷2這個(gè)方法偷偷在紙上筆算出答案再撥到算盤上應(yīng)付老師。上初中后學(xué)到數(shù)列才知道德國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家高斯在十歲時(shí)也是用這種方法來計(jì)算從1加到100的，我為自己小時(shí)候有著與著名數(shù)學(xué)家一樣的思維方法而感到非常自豪。

　　對(duì)于三盤清和九盤清計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)有規(guī)律的數(shù)字，我小時(shí)候也偷偷的作過分析研究，總結(jié)出為什么有規(guī)律的原因。

　　三盤清是見到什么數(shù)加什么數(shù)，實(shí)際上就是把原來的數(shù)乘以二，連續(xù)三次乘以二也就是乘以八，而123456789×8=123456789×（10-1-1）=1234567890-123456789-123456789，這樣從減法計(jì)算的豎式里可看出第一次減時(shí)被減數(shù)除個(gè)位數(shù)是0外，其它各位都是比減數(shù)大1，如果把三盤清計(jì)算后末尾加的9先加在被減數(shù)上，那么第一次減下來個(gè)位數(shù)是0，其它各位數(shù)全是1，第二次減就成了1111111110-123456789，這道減法的計(jì)算豎式里就有一個(gè)有趣的規(guī)律：個(gè)位數(shù)在減時(shí)被減數(shù)是0必須向十位借1變成10，而十位數(shù)在減時(shí)由于1被借走也是0就必須向百位數(shù)借1變成10，同樣百位數(shù)向千位數(shù)借，千位數(shù)向萬(wàn)位數(shù)借……計(jì)算的時(shí)候從個(gè)位開始都是本位被減數(shù)是0，向上一位借1變成10，每一位都是10減去減數(shù)，對(duì)減數(shù)是123456789這樣依次遞增的數(shù)，最后的計(jì)算結(jié)果當(dāng)然是987654321這樣依次遞減的數(shù)了。

　　九盤清的分析就相對(duì)要簡(jiǎn)單得多，一個(gè)數(shù)連續(xù)加上九次實(shí)際上就是十個(gè)這個(gè)數(shù)的和，那么十個(gè)123456789的和當(dāng)然是1234567890了。

　　上世紀(jì)八十年代社會(huì)上流傳著我國(guó)臺(tái)灣省一位小學(xué)生在玩電子計(jì)算器時(shí)無意中發(fā)現(xiàn)的有趣現(xiàn)象：在計(jì)算器里打上12345679八位數(shù)再乘以9就會(huì)得出111111111這樣九個(gè)1，要是乘以3就會(huì)得出037037037，乘以6就會(huì)得出174174174，……乘以18就會(huì)得出222222222……只要在81以內(nèi)，乘以3的倍數(shù)就會(huì)出現(xiàn)三位數(shù)一個(gè)循環(huán)的現(xiàn)象，乘以9的倍數(shù)就會(huì)出現(xiàn)連續(xù)九個(gè)一樣的數(shù)而且乘數(shù)是9的幾倍就是連續(xù)的九個(gè)幾。一時(shí)全世界很多人都拿計(jì)算器去試這個(gè)規(guī)律，但都是只知其然，不知其所以然。那時(shí)寧波有位好奇的記者請(qǐng)寧波一中當(dāng)時(shí)的校長(zhǎng)、全國(guó)著名的中學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師陳守禮老師在《寧波日?qǐng)?bào)》上寫文章分析這一有趣現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，但陳老師的分析很復(fù)雜，大家都難以看懂。我看了后馬上用小時(shí)候分析三盤清的方法一分析，發(fā)現(xiàn)這個(gè)計(jì)算器現(xiàn)象其實(shí)比三盤清的分析還要簡(jiǎn)單。我就把自己的分析寄給陳老師，可他大概沒收到也就沒給回音�，F(xiàn)在我把這個(gè)分析寫出來與廣大數(shù)學(xué)愛好者分享。12345679×9=12345679×（10-1）=123456790-12345679，從這個(gè)減法計(jì)算的豎式里可看出：前面幾位全都是被減數(shù)比減數(shù)大一，沒有8十位數(shù)9比7大二，但個(gè)位數(shù)是0不夠減向十位數(shù)借1，所以十位數(shù)也變成了被減數(shù)比減數(shù)大一，個(gè)位被減數(shù)借到1后變成10也比減數(shù)大一，所以乘以9的結(jié)果出現(xiàn)了111111111這樣連續(xù)九個(gè)1的現(xiàn)象，乘以9結(jié)果每位數(shù)都是1，再乘以幾倍（只要在九倍以內(nèi)）當(dāng)然是每位數(shù)都是幾了。現(xiàn)在再來分析乘以3后出現(xiàn)的現(xiàn)象，12345679×3=12345679×9÷3=111111111÷3，從能被3整除的數(shù)的規(guī)律中可看到連續(xù)三位數(shù)上的三個(gè)1加起來等于3能被3整除，就可把連續(xù)九個(gè)1分成三個(gè)1一段，這樣每一段中的111都能被3整除，結(jié)果就成了三位數(shù)一個(gè)循環(huán)的現(xiàn)象，當(dāng)乘數(shù)是81時(shí)，這三位循環(huán)數(shù)是999達(dá)最大，再大就要進(jìn)上第四位改變了上一個(gè)循環(huán)的數(shù)值，所以只要乘數(shù)在81以內(nèi)，12345679乘以3的倍數(shù)結(jié)果就成三位數(shù)一循環(huán)的三個(gè)循環(huán)，乘以9的倍數(shù)就成了九個(gè)一樣的數(shù)。