二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用范圍

　　在初中教材中，對(duì)二次函數(shù)作了較詳細(xì)的研究，由于初中學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機(jī)械的，很難從本質(zhì)上加以理解。進(jìn)入高中以后，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，要對(duì)他們的基本概念和基本性質(zhì)（圖象以及單調(diào)性、奇偶性、有界性）靈活應(yīng)用，對(duì)二次函數(shù)還需再深入學(xué)習(xí)。

　　一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念

　　初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來(lái)闡明函數(shù)，這時(shí)就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來(lái)加以更深認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個(gè)集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射?:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對(duì)應(yīng)，記為?(x)= ax2+ bx+c(a≠0)這里ax2+bx+c表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問(wèn)題：

　　類型I：已知?(x)= 2x2+x+2，求?(x+1)

　　這里不能把?(x+1)理解為x=x+1時(shí)的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

　　類型Ⅱ：設(shè)?(x+1)=x2－4x+1,求?(x)

　　這個(gè)問(wèn)題理解為，已知對(duì)應(yīng)法則?下，定義域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對(duì)應(yīng)法則。
　　一般有兩種方法：
　　(1)把所給表達(dá)式表示成x+1的多項(xiàng)式。
　　?(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得?(x)=x2－6x+6
　　(2) 變量代換：它的適應(yīng)性強(qiáng)，對(duì)一般函數(shù)都可適用。
　　令t=x+1，則x=t-1  ∴(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6從而?(x)= x2－6x+6

　　二、二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖象。

　　在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時(shí)，必須讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間（－∞，－b2a ]及[－b2a ，+∞） 上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時(shí)，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺(jué)地利用圖象學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。

　　類型Ⅲ：畫(huà)出下列函數(shù)的圖象，并通過(guò)圖象研究其單調(diào)性。

　　（1）y=x2+2|x－1|－1
　�。�2）y=|x2－1|
　　（3）= x2+2|x|－1
　　這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對(duì)值記號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫(huà)出其圖象。
　　類型Ⅳ設(shè)?(x)=x2－2x－1在區(qū)間[t,t+1]上的最小值是g(t)。
　　求：g(t)并畫(huà)出 y=g(t)的圖象
　　解：?(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1時(shí)取最小值－2
　　當(dāng)1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2
　　當(dāng)t＞1時(shí)，g(t)=?(t)=t2－2t－1
　　當(dāng)t＜0時(shí)，g(t)=?(t+1)=t2－2
　　t2－2, (t<0)
　　g(t)=  -2，(0≤t≤1)
　　t2－2t－1, (t>1)
　　首先要使學(xué)生弄清楚題意，一般地，一個(gè)二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時(shí)，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識(shí)，可以再給學(xué)生補(bǔ)充一些練習(xí)。
　　如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求該函數(shù)的值域。